3.2 导数的概念及其几何意义（课时作业）-2021-2022学年高中数学选修1-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

22.2　导数的几何意义 [选题明细表] 知识点、方法 题号 曲线在某点处的切线方程及应用 1,2,3,4,5,6,10 过一已知点的切线方程及应用 7 导数几何意义的综合 8,9,11 基础巩固 1.已知函数y=f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线方程是x-2y+1=0,则f(1)+2f′(1)的值是(　D　 ) (A) (B)1 (C) (D)2 解析:因为(1,f(1))在直线x-2y+1=0上,所以1-2f(1)+1=0,所以f(1)=1.又f′(1)=,所以f(1)+2f′(1)=1+2×=2.故选D. 2.如图,直线l是曲线y=f(x)在x=4处的切线,则f′(4)等于(　A　) (A) (B)3 (C)4 (D)5 解析:f′(4)的含义是过点(4,5)的曲线y=f(x)的切线的斜率,又l过点(0,3),所以l的斜率为=, 故f′(4)=.故选A. 3.曲线y=x2-2在x=1处的切线的倾斜角为(　B　 ) (A)30° (B)45° (C)135° (D)165° 解析:令f(x)=y=x2-2, 则f′(1)==(1+Δx)=1, 故选B. 4.设曲线y=x2+x-2在点M处切线斜率为3,则点M的坐标为(　B　) (A)(0,-2) (B)(1,0) (C)(0,0) (D)(1,1) 解析:设M(x0,y0), 所以k= =2x0+1 =3. 所以x0=1,则y0=0,即M点坐标为(1,0). 故选B. 5.若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则(　A　) (A)a=1,b=1 (B)a=-1,b=1 (C)a=1,b=-1 (D)a=-1,b=-1 解析:由已知,得点(0,b)是切点. Δy=(0+Δx)2+a(0+Δx)+b-b=(Δx)2+aΔx, 所以=Δx+a,y′|x=0==a. 因为切线x-y+1=0的斜率为1,所以a=1. 又切点(0,b)在切线上,所以b=1.故选A. 6.已知抛物线y=f(x)=x2+3与直线y=2x+2相交,则它们交点处抛物线的切线方程为　　　　　　　　.  解析:由方程组得x2-2x+1=0, 解得x=1,y=4,所以交点坐标为(1,4), 又==Δx+2. 当Δx趋于0时,Δx+2趋于2, 所以在点(1,4)处的切线斜率k=2, 所以切线方程为y-4=2(x-1),即2x-y+2=0. 答案:2x-y+2=0 7.已知曲线y=上一点P(1,2),则过点P的切线方程为　　　　.  解析:Δy=f(1+Δx)-f(1)=-, 所以= ==. 所以过点P的切线的斜率k= ===1.由点斜式方程得过P点的切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0. 答案:x-y+1=0 能力提升 8.已知曲线y=的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为(　A　) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:设切点(x0,y0),因为y′|==(+)= =, 所以x0=1,则切点的横坐标为1. 故选A. 9.设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0),若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,则a的值为　　　　.  解析:因为Δy=f(x0+Δx)-f(x0) =(x0+Δx)3+a(x0+Δx)2-9(x0+Δx)-1-(+a-9x0-1)=(3+2ax0-9)Δx+(3x0+a)(Δx)2+(Δx)3, 所以=3+2ax0-9+(3x0+a)Δx+(Δx)2. 当Δx无限趋近于零时, 无限趋近于3+2ax0-9,即f′(x0)=3+2ax0-9, 所以f′(x0)=3(x0+)2-9-. 当x0=-时,f′(x0)取最小值-9-. 因为斜率最小的切线与12x+y=6平行, 所以该切线斜率为-12,所以-9-=-12, 解得a=±3.又a<0,所以a=-3. 答案:-3 10.直线l:y=x+a(a≠0)和曲线C:y=x3-x2+1相切. (1)求切点的坐标; (2)求a的值. 解:(1)设直线l与曲线C相切于点P(x0,y0). f′(x)= = =3x2-2x. 由题意知,k=1,即3-2x0=1,解得x0=-或x0=1. 于是切点的坐标为(-,)或(1,1). (2)当切点为(-,)时, =-+a,所以a=; 当切点为(1,1)时,1=1+a,所以a=0(舍去). 所以a的值为,切点坐标为(-,). 探究创新 11.如图,一飞机沿抛物线y=f(x)=-x2飞行,另有一空中加油机沿直线l:4x+3y-77=0飞行(x,y单位都是米),并寻找机会为飞机加油,已知加油管长15米,问能否进行空中加油? 解:设与直线l平行的抛物线的切线的切点为Q(x0,y0),因为y=-x2, 所以f′(x0)= = =-2x