第一章 常用逻辑用语 章末总结（课件）-2021-2022学年高中数学选修1-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

章末总结 数学 网络建构 数学 专题归纳 题型一 命题的否定及命题真假的判断 [例1] (1)命题“∀x∈R,x2≠x”的否定是(　　) (A)∀x∉R,x2≠x (B)∀x∈R,x2=x (C)∃x∉R,x2≠x (D)∃x∈R,x2=x 解析:(1)全称命题的否定是特称命题:∃x∈R,x2=x. 故选D. 数学 (A)p是假命题 (B)q是真命题 (C)p且﹁q是真命题 (D)﹁p且q是真命题 数学 题型二 充分、必要、充要条件的判断 解析:由a2+a≥0,解得a≥0或a≤-1,所以a≥0是a2+a≥0的充分不必要条件.故选A. [例2] 设条件p:a≥0;条件q:a2+a≥0,那么p是q的(　　) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 数学 规律方法 判断充分必要条件时关键是要分清命题的条件与结论,如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时,可以通过举出恰当的特例来说明. 数学 题型三 分类讨论思想 [例3] 命题P:函数f(x)=logax在(0,+∞)上是增函数;命题Q:存在x∈R,使得x2-4x+a=0. (1)若命题“P且Q”为真,求实数a的取值范围; (2)若命题“P或Q”为真,“P且Q”为假,求实数a的取值范围. 名师导引:通过题目中所给的条件,可推断命题P,Q的真假情况,从而获得a的取值范围,必要时需要分类讨论. 数学 数学 数学 规律方法 本题通过命题P和命题Q一真一假的情况,确定需要分类讨论,并可建立分类讨论的标准,讨论时要做到不重不漏.通过分类讨论求参数的取值范围时,需把在每种分类讨论的情况下得到的参数的范围取“并集”,从而最终求得参数的整体范围. 数学 题型四 等价转化思想 [例4] 设命题p:实数x满足(x-a)(x-3a)<0,其中a>0,命题q:实数x满足2<x≤3. (1)若a=1,有p且q为真,求实数x的取值范围; (2)若﹁p是﹁q的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 名师导引:若a=1,直接解出两个命题对应的x的集合,然后求两个集合的交集;涉及命题否定间的关系,可以利用逆否命题转化为原命题间的关系,再转化为相应集合关系. 数学 数学 点击进入 检测试题 数学 (2)已知命题p:任意a∈R,且a>0,a+≥2,命题q:存在x0∈R,sin x0+cos x0=,则下列判断正确的是(　　) 解析:(2)依题意可知,因为任意a∈R,且a>0,a+≥2,正确,所以命题p真; 又因为sin x0+cos x0=sin(x0+)≤,所以命题q假,则p且﹁q真,﹁p且q假.故选C. 解:命题P为真,可得a>1,命题Q为真, 可得Δ=16-4a≥0,解得a≤4. (1)若命题“P且Q”为真,则P真,Q真,即 解得1<a≤4.即a的取值范围为(1,4]. (2) 若命题“P或Q”为真,“P且Q”为假, 则命题P和命题Q一真一假. ①若P假Q真,则⇒a≤1; ②若P真Q假,则⇒a>4, 综上可得a>4或a≤1. 即a的取值范围为(-∞,1]∪(4,+∞). 解:(1)实数x满足(x-a)(x-3a)<0,其中a>0, 解得a<x<3a, 若a=1,则1<x<3, 因为p且q为真,所以解得2<x<3, 故所求x∈(2,3). (2)若﹁p是﹁q的充分不必要条件, 则q是p的充分不必要条件, 所以解得1<a≤2, 所以a的取值范围是(1,2]. $