第03练：二次函数的图像和性质-2022年【寒假分层作业】九年级数学（人教版）（全国通用）

第03练：二次函数的图像和性质 1.定义 一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。 2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。 ① 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下； 相等，抛物线的开口大小、形状相同。 ②平行于 轴（或重合）的直线记作 .特别地， 轴记作直线 。 3.几种特殊的二次函数的图像特征如下 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当 时 开口向上 当 时 开口向下 （ 轴） （0,0） （ 轴） (0, ) ( ,0) ( , ) ( ) 4.求抛物线的顶点、对称轴的方法 ①公式法： ， ∴顶点是 ， 对称轴是直线 。 ②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 的形式，得到顶点为( , )，对称轴是直线 。 ③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。 若已知抛物线上两点 （及y值相同），则对称轴方程可以表示为： 5.抛物线 中， a、b、c的作用 ① 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样。 ② 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线 ，故：① 时，对称轴为 轴；② （即 、 同号）时，对称轴在 轴左侧；③ （即 、 异号）时，对称轴在 轴右侧。 ③ 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置。 当 时， ，∴抛物线 与 轴有且只有一个交点（0， ）： ① ，抛物线经过原点; ② ,与 轴交于正半轴； ③ ,与 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 6.用待定系数法求二次函数的解析式 一般情况下设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，结合题中条件解出a、b、c就可以求出二次函数的解析式。但遇到特殊情况可用下列办法解决： (1)当已知抛物线的顶点在原点时，我们可设抛物线的解析式为y=ax2； (2)当已知抛物线的顶点在y轴上或以y轴为对称轴，但顶点不一定经过原点时，可设抛物线的解析式为y=ax2+c； (3)当已知抛物线的顶点在x轴上，可设抛物线的表达式为y=a(x-h)2，其中(h，0)为抛物线与x轴的交点坐标； (4)当抛物线的顶点坐标已知，则可设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k，其中(h，k)为抛物线的顶点坐标. 7.二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ； ⑵ 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下： 2. 平移规律:在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 1．抛物线 顶点在（） A．第一象限 B．第二象限 C． 轴上 D． 轴上 【答案】D 【解析】求出顶点坐标，再根据平面直角坐标系各象限的坐标特征判断即可. 【详解】 ∵抛物线y=2x2-3的顶点坐标为（0，-3）， ∴抛物线y=2x2-3的顶点在y轴上． 故选D． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是能正确求出顶点坐标．也考查了坐标平面内点的坐标特征. 2．抛物线 （ ）的部分图象如图所示，与 轴的一个交点坐标为 ，抛物线的对称轴是 ，下列结论是：① ；② ；③方程 有两个不相等的实数根；④ ；⑤若点 在该抛物线上，则 ，其中正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】根据二次函数的对称性补全图像，再根据二次函数的性质即可求解. 【详解】 如图，∵与 轴的一个交点坐标为 ，抛物线的对称轴是 ， 实验求出二次函数与x轴的另一个交点为（-2,0） 故可补全图像如下， 由图可知a＜0，c＞0，对称轴x=1,故b＞0， ∴ ，①错误， ②对称轴x=1,故x=- ,∴ ，正确； ③如图，作y=2图像，与函数有两个交点，∴方程 有两个不相等的实数根，正确；④∵x=-2时，y=0,即 ，正确；⑤∵抛物线的对称轴为x=1,故点 在该抛物线上，则 ，正确； 故选D 【点评】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知二次函数的对称性. 3．若二次函数的图象的顶点坐标为（2，-1），且抛物线过（0，3），则二次函数的解析式是（　　） A．y=-（x-2）2-1 B．y=- （x-2）2-1 C．y=（x-2）2-1 D．y= （x-2）2-1 【答案】C 【解析】根据二次函数的顶点式求解析式. 【详解】 解: 设这个二次函数的解析式为y=a（x-h）2+k ∵二次函数的图象的顶点坐标为（2，-1）， ∴二次函数的解析式为y=a（x-2）2-1， 把