9.2.3向量的数量积（备作业）-【上好课】2021-2022学年高一数学同步备课系列（苏教版2019必修第二册）

课时跟踪检测（五） 9.2.3向量的数量积 基础练 1．[多选]下列说法正确的是(　　) A．向量b在向量a上的投影是向量 B．若a·b<0，则a与b的夹角θ的范围是 C．(a·b)·c＝a·(b·c) D．a·b＝0，则a⊥b 解析：选AB　对于选项A，根据投影向量的定义，故A正确；对于选项B，∵a·b＝|a||b|cos θ<0，则cos θ<0，又∵0≤θ≤π，∴θ∈，故B正确；对于选项C，∵(a·b)·c与c是共线向量，a·(b·c)与a是共线向量，故(a·b)·c≠a·(b·c)，故C错误；对于选项D，a·b＝0⇒a⊥b或a＝0或b＝0，故D错误．故选A、B. 2．已知|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角是120°，则a·b等于(　　) A．3　　　　　　　　　　 B．－3 C．－3 D．3 解析：选B　由数量积的定义，得a·b＝|a||b|cos 120°＝×2×＝－3.故选B. 3．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．0 解析：选B　a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b. ∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.故选B. 4．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选B　因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.故选B. 5．已知|a|＝3，|b|＝2，且a，b的夹角为60°，如果(3a＋5b)⊥(m a－b)，那么m的值为(　　) A. B. C. D. 解析：选C　由题意知(3a＋5b)·(ma－b)＝0，即3m a2＋(5m－3)a·b－5b2＝0,3m×32＋(5m－3)×3×2cos 60°－5×22＝0，解得m＝.故选C. 6．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b方向上的投影向量为________． 解析：∵a·b＝|a||b|cos θ＝12，又|b|＝5， ∴|a|cos θ＝，＝，即a在b方向上的投影向量为b. 答案：b 7．已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________. 解析：由题意，得cos〈a，c〉＝ ＝＝＝. 答案： 8．已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________. 解析：由题意，设向量a，b的夹角为θ.因为|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cos θ＝3－2 ·cos θ＝0，解得cos θ＝.又因为0≤θ≤π，所以θ＝.则a·(a＋b)＝|a|2＋|a||b|·cos θ＝3＋2 ×＝6. 答案：　6 9．已知向量a，b的夹角为30°，且|a|＝，|b|＝1，求向量p＝a＋b与q＝a－b的夹角θ的余弦值． 解：p·q＝(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝3－1＝2. ∵|p|＝|a＋b|＝ ＝ ＝， |q|＝|a－b|＝ ＝ ＝1， ∴cos θ＝＝＝. 10．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，若向量2a＋kb与a＋b垂直，求实数k的值． 解：a·b＝|a||b|cos＝2×1×＝1. 因为2a＋kb与a＋b垂直， 所以(2a＋kb)·(a＋b)＝0. 所以2a2＋2a·b＋ka·b＋k b2＝0. 所以2×22＋2＋k＋k＝0.所以k＝－5. 拓展练 1．如图，e1，e2为互相垂直的两个单位向量，则|a＋b|＝(　　) A．20 B. C．2 D. 解析：选C　由题意，知a＝－e1－e2，b＝－e1－e2，所以a＋b＝－2e1－4e2，所以|a＋b|＝＝＝＝2.故选C. 2．已知向量a，b满足|a|＝1，a⊥b，则向量a－2b在向量a方向上的投影向量为(　　) A．a B．1 C．－1 D．－a 解析：选A　设θ为向量a－2b与向量a的夹角，则向量a－2b在向量a方向上的投影向量为|a－2b|cos θ . 又cos θ＝＝＝，故|a－2b|cos θ ＝|a－2b|·＝a.故选A. 3．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于(　　) A．8 B．－8 C．8或－8 D．6 解析：选A　cos θ＝＝＝－，∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝.∴|a×b|＝2×5×＝8.故选A. 4.如图，在平