第5章 导数及其应用（压轴题专练）-2021-2022学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020选修第二册）

第5章 导数及其应用压轴题专练 一、单选题 1．（2021·广西柳州·一模（理））已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有．且为奇函数，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意构造，结合已知条件，讨论其单调性，再将不等式转化为的不等式，即可利用单调性求解. 【详解】根据题意，构造，则， 且，故在上单调递减； 又为上的奇函数，故可得， 即，则. 则不等式等价于， 又因为是上的单调减函数，故解得. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查构造函数法，涉及利用导数研究函数的单调性以及利用函数单调性求解不等式；本题中，根据以及题意，构造是解决问题的关键，属中等偏上题. 2．（2021·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））已知函数，其中正确结论的是（ ） A．当时，函数有最大值 B．对于任意的，函数一定存在最小值 C．对于任意的，函数是上的减函数 D．对于任意的，都有函数 【答案】B 【分析】对函数进行求导，根据导数的性质进行逐一判断即可. 【详解】， A：当时，，所以该函数是实数集上的增函数，故不存在最大值，因此本选项说法不正确； B：当时，设，因为， 所以，因此是增函数，因为当， 所以，当时，，因此函数有唯一零点，设为，因此当时，，即，此时函数单调递减， 当时，，即，此时函数单调递增，因此当时，函数有最小值，所以本选项说法正确， C：当，时，因为，所以是上的增函数，因此本选项说法不正确； D：当时，因为当时，，，所以对于任意的不恒成立，故本选项说法不正确， 故选：B 【点睛】关键点睛：选项B的解答中二次求导是解题的关键. 3．（2021·河南·南阳中学高三阶段练习（文））若关于的不等式恒成立，则正数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，将已知转化为，利用导数研究函数的单调性可知，且，研究函数的单调性及最值知当时，满足，又为m关于的增函数，所以. 【详解】，由已知需 求导，，故在上单调递增， 且当时，；当时，； 故有解，设为，即， 当时，，函数单减；当时，，函数单增； 所以 令，求导 故函数在上为增函数，且 故当时，；当时，，即当时，满足 令，且，故函数为增函数， 又为m关于的增函数，又，所以 故选：A 4．（2021·山西吕梁·高三阶段练习（理））已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件构造函数和函数，再求导，借助导数即可推理判断作答. 【详解】令，则，即在上单调递增，， 因此，，即，于是得以， 设，则，令，则， 从而有在上单调递减，即，则在上单调递减， 于是得，即有，取，则，即， 综上，. 故选：C 【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，细心挖掘问题的内在联系，构造函数，借助导数分析、运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用. 5．（2021·四川·射洪中学高三阶段练习（文））已知方程在上恰有3个不等实数根，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件将方程解的个数等价转化成两个函数与图象交点个数，再借助导数即可推理作答. 【详解】作出函数与的图象，如图，当时，两个函数图象至多有两个公共点， 而方程在上恰有3个不等实数根，则， 当时，方程在上只有一个实根， 方程在上恰有3个不等实数根，等价于方程在上恰有2个不等实数根， 即函数在上恰有2个零点， ，，当时，，则在上单调递增，在上最多一个零点， 于是有，当时，，当时，，即有在上递减，在上递增， 因此，，且在上的两个零点分别在区间与内 从而有，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 【点睛】思路点睛：涉及分段函数零点个数求参数范围问题，可以按各段零点个数和等于总的零点个数分类分段讨论解决. 6．（2021·云南·高三阶段练习（文））已知且，，，则( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对三个已知等式变形，构造成同一形式，构造函数，利用导数研究函数的单调性即可﹒ 【详解】， ， ， 故构造函数，． 当时，； 当时，， f(x)如图： ∵，由图知：， 故选：A． 【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效． 7．（2021·四川资阳·一模（理））若不等式恒成立，则a的