第04讲 点到直线的距离（核心考点讲与练）-2021-2022学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020选修第一册）

第4讲 点到直线的距离(核心考点讲与练) 一、点到直线的距离问题 求直线外一点P(x0, y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d: 过P作直线的垂线段PQ，垂足为Q。，而也是 直线的一个法向量。 利用 若Q不是垂足，而是直线上任意一点，那么是否依然成立？ P Q 我们可以得到：依然成立！因为就是在法向量方向上的投影的绝对值，即为点P到直线l的距离d。 二、在直线同（异）侧的所有点的的符号判断问题 若两点在直线的同侧，则的符号相同；若在直线的异侧，则的符号相反. 三、两平行线间的距离问题 直线与直线平行，其距离为：. 考点一：点到直线的距离问题 例1．（2022·上海·高三专题练习）点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】点到直线的距离为， 故选：D. 例2．（2021·上海·华师大二附中高二开学考试）点P(-1，-1)到直线的距离为（ ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】由点到直线距离公式求解. 【详解】由点到直线的距离公式可得， ， 故选：B 例3．（2020·上海市新场中学高二阶段练习）点到直线的距离为______________； 【答案】 【分析】直接利用点到直线距离公式求解即可. 【详解】点到直线的距离为： ， 故答案为： 例4．（2022·上海·高三专题练习）点到直线距离的最大值为___________. 【答案】 【分析】直线恒过点，根据几何关系可得，点到直线的距离为. 【详解】解：直线恒过点， 则点到直线的距离的最大值为点到点的距离， ∴点到直线距离的最大值为： . 故答案为：. 例5．（2022·上海·高三专题练习）已知实数满足，则的最小值为________________ 【答案】# 【分析】化简方程为，即或，结合原点到直线的距离，即可求解. 【详解】由，可得，即或， 则原点O到直线的距离的平方为； 原点O到直线的距离的平方为， 所以的最小值为原点O到直线的距离的平方为． 故答案为：或． 例6．（2020·上海·高二课时练习）已知实数满足，求函数的最小值． 【答案】最小值是1 【分析】由函数，转化为点与直线上的动点的距离的平方，结合点直线的距离公式，即可求解. 【详解】由题意，函数， 表示点与直线上的动点的距离的平方， 当时，取得最小值，即点到直线距离的平方， 因为，所以的最小值是1. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离公式及其应用，其中解答中把函数转化为点到直线的距离的平方是解答的关键，着重考查转化思想，以及计算能力. 例7．（2022·上海·高三专题练习）已知点和直线，求当为何值时，点到直线的距离最大，最大值是多少． 【答案】，最大值为 【分析】先得出直线恒过定点，由平面几何性质可得时点到直线距离最大，由此利用垂直直线的斜率关系求出，进而可得结果. 【详解】的方程可化为， 由得，即直线恒过定点， ∵直线的斜率， ∴当直线时，点到直线距离最大 可得，解得， 故当时，点到直线的距离最大， 此时的方程为，最大值为. 【点睛】本题主要考查了直线过定点问题，点到直线的距离公式，属于中档题. 例8．（2022·上海·高三专题练习）设集合{直线与直线相交且以交点的横坐标为斜率}． （1）点到中哪条直线距离最小； （2）设，点到中直线距离的最小值设为，求． 【答案】（1）到距离最小；（2） 【分析】（1）设出交点坐标，可写出直线的方程，再根据点到直线的距离公式即可求出点到到直线的距离，判断该式的单调性即可求出最小值，从而得到直线的方程； （2）先求出点到中直线的距离，得到关于的函数关系式，变形，结合基本不等式取等的条件进行分类讨论，即可求出． 【详解】（1）设交点为，则直线的方程为，即． 点到直线的距离关于单调递增，所以，当时，距离最小为0，此时直线的方程为． （2）因为， 因为设，，所以 当，即或时，； 当即时，在上单调递增，． 综上，． 【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，基本不等式的应用，函数单调性的应用，以及函数最值的求法，意在考查学生的数学运算能力和分类讨论思想的应用能力，属于中档题． 【巩固训练】 1.求过两条直线的交点，且距原点为1的直线的方程. 【难度】★★ 【答案】 2.若，则的最小值为. 【难度】★ 【答案】 3.求过点A（－1，1）且与点B(2，5)距离最大的直线的方程. 【难度】★★ 【答案】 4.在直线系中是否存在这样的一条直线，使它与的距离等于3。 【难度】★★ 【答案】存在 5.平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若、分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”.已知常数给出