2.2.3　映　射（课件）-2021-2022学年高中数学必修1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

2.3　映　射 数学 课标要求:1.了解映射的概念,知道什么叫一一映射.2.理解函数与映射的区别和联系. 数学 新知导学 课堂探究 数学 新知导学·素养养成 [情境导学] 实例:(1)A={高一(1)班同学},B={高一(1)班同学座位},对应关系f:每个同学对应自己的座位. (2)A={全体实数},B={数轴上所有的点},对应关系f:每个实数对应数轴上的每个点. (3)A={-2,-1,0,1,2},B={0,1,4},对应关系f:x →x2. 数学 想一想 实例中集合A中任意一个元素在集合B中是否都有元素与之对 应?若有,有几个元素与之对应? 答案:集合A中任意一个元素在集合B中都有唯一元素与之对应. 数学 1.映射的定义 两个 集合A与B间存在着对应关系f,而且对于A中的 元素x,B中总有 的一个元素y与它对应,就称这种对应为从A到B的 ,记作 .A中的元素x称为 ,B中的对应元素y称为x的 ,记作: . 探究1:f:A→B与f:B→A是相同映射吗? 答案:不是,f:A→B是由A到B的映射;f:B→A是由B到A的映射. 探究2:集合B中的元素在集合A中一定有原像吗? 答案:不一定有. 知识探究 非空 每一个 唯一 映射 f:A→B 原像 像 f:x→y 数学 2.一一映射 一一映射是一种特殊的映射,它满足: (1)A中每一个元素在B中都有 的像与之对应; (2)A中的不同元素的像 ; (3)B中的每一个元素都有 . A,B之间的一一映射也叫作一一对应. 探究3:一一映射与映射有怎样的区别? 答案: 唯一 也不同 原像 映射f:A→B 一一映射f:A→B 对应方式 “多对一”或“一对一” 一对一 原像 B中的一些元素可能没有原像 B中的任何元素都有唯一的原像 像 A中的几个元素可能对应同一个像 A中的任何元素都对应不同的像 方向性 B到A不一定是映射 B到A是一一映射 数学 3.函数与映射的关系 设A,B是两个非空数集,f是A到B的一个映射,那么映射f:A→B就叫作 ,在函数中,原像的集合称为 ,像的集合称为 . 探究4:函数与映射之间有什么关系? 答案:函数是从非空数集到非空数集的映射,所以函数是映射,但映射不一定是函数,因为映射的像的集合与原像的集合不一定是数集. A到B的函数 定义域 值域 数学 题型一 课堂探究·素养提升 映射的判断 [例1] 判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射,是否为一一映射. (1)A=N+,B=N+,对应关系f:x→|x-3|; (2)A={平面内的圆},B={平面内的矩形},对应关系f:作圆的内接矩形; 解:(1)由于在对应关系f作用下A中元素3与3的差的绝对值为0,而0∉B,故不是映射. (2)因为一个圆有无数个内接矩形,即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应,故不是映射. 数学 解:(3)对A中任何一个元素,按照对应关系f,在B中都有唯一一个元素与之对应,符合映射定义,是映射,但不是一一映射. (3)A={2018年平昌冬奥会参赛国},B={参赛国的金牌数},对应关系f:每个参赛国最终获得的金牌数; 数学 思维总结 判断一个对应是否是映射,主要看第一个集合A中的每一个元素在对应关系下在B中是否都有对应元素,若有,再看对应元素是否唯一,至于B中的每一个元素是否都有原像,不作要求.而一一映射还需要满足以下两个条件:(1)在映射f下,A中不同的元素在B中有不同的像.(2)B中每一个元素都有原像. 数学 变式探究1-1:本例所给的对应中,哪一个对应能构成函数. 解:由于只有(3)(4)能构成映射,而(3)中的集合不是数集,(4)中的集合是数集,因此只有(4)能构成函数. 数学 即时训练1-1:下列对应是从集合S到T的映射的是(　　) (A)S={0,1,4,9},T={-3,-2,-1,0,1,2,3},对应关系是开平方 (B)S=N,T={-1,1},对应关系是n→(-1)n,n∈S 数学 题型二 像与原像 [例2] 已知集合A=B={(x,y)|x∈R,y∈R},A到B的映射f:(x,y)→ (x+2y+2,4x+y). (1)求A中元素(5,5)的像; (2)求B中元素(5,5)的原像. 名师导引:解答此类问题的关键是什么?(①分清原像和像;②弄清楚由原像到像的对应关系) 解:(1)当x=5,y=5时,x+2y+2=17,4x+y=25. 故A中元素(5,5)的像是(17,25). 数学 思维总结 映射f:A→B中求像与原像的解题思路:对A中元素求像,只需将原像代入对应关系即可,对于B中元