2.2.3 映射-2021-2022学年高中数学必修1【名师导航】同步Word教参(北师大版)

2.3　映　射 学 习 目 标 核 心 素 养 1．了解映射、一一映射的概念．(重点) 2．初步了解映射与函数间的联系与区别．(易混点) 3．感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用．(重点) 1．通过学习映射的概念，培养数学抽象素养． 2．通过学习有关映射的概念提升逻辑推理素养. 阅读教材P32的有关内容，完成下列问题． 1．映射的概念 两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B. 2．像与原像的概念 在映射f：A→B中，A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像，记作f：x→y. 思考1：映射f：A→B的原像集一定是A，像集一定是B吗？ [提示]　原像集一定是A，像集不一定是B.当B中存在元素没有原像时，像集不是B. 3．一一映射的概念 阅读教材P33的有关内容，完成下列问题． 一一映射是一种特殊的映射，它满足： (1)A中每一个元素在B中都有唯一的像与之对应； (2)A中的不同元素的像也不同； (3)B中的每一个元素都有原像． 思考2：对于一一映射f：A→B，若A中有n个元素，则B中一定也有n个元素吗？ [提示]　B中一定有n个元素． 4．函数与映射的关系 阅读教材P33的有关内容，完成下列问题． 设A，B是两个非空数集，f是A到B的一个映射，那么映射f：A→B就叫作A到B的函数．即函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射． 思考3：f：学生→该学生的学籍号，是映射，但它是函数吗？ [提示]　不是函数，因为集合{学生}不是数集． 1．设集合A＝{1,2,3}，B＝{a，b，c}，则从集合A到B的一一映射的个数为(　　) A．4　　　　　 B．6 C．9 D．12 B　[ 共6个．] 2．设A＝Z，B＝{0,1}，从A到B的映射是“求被2除的余数”，则A中元素－3的像是________． 1　[因为－3＝(－2)×2＋1，所以，－3的像是1.] 3．下列集合A到集合B的映射f不是函数的有________． ①A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数平方； ②A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方； ③A＝N，B＝Q，f：A中的数取倒数． ②③　[①当x∈A时，y＝x2∈B，是函数，②当x＝1，y＝±1，不是函数，③当x＝0时，像不存在．] 4．设f：x→ax－1为从集合A到B的映射，若f(2)＝3，则f(3)＝________. 5　[由f(2)＝3，得2a－1＝3，解得a＝2，所以f(3)＝2×3－1＝5.] 映射、一一映射的判断 【例1】　已知集合A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|0≤y≤1}．判断下列对应是否是集合A到集合B的映射，是否是一一映射，并说明理由． (1)f：x→y＝x； (2)f：x→y＝(x－2)2； (3)f：x→y＝(x－1)2. [思路探究]　根据映射、一一映射的定义判断． [解]　(1)因为0≤x≤3，所以0≤x≤1，所以对集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的像，所以对应f：A→B是集合A到集合B的映射． 对于集合B中的每一个元素y，由x＝3y及0≤y≤1，有0≤3y≤3,0≤x≤3. 即集合B中的每一个元素在集合A中都有原像，且这样的原像只有一个，所以对应f：A→B是一一映射； (2)因为0≤x≤3，所以－2≤x－2≤1，所以0≤(x－2)2≤4，所以集合A中的某些元素，如x＝0，在集合B中没有像，因此对应f：A→B不是映射，更不是一一映射； (3)因为0≤x≤3，所以－1≤x－1≤2,0≤(x－1)2≤1，所以集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的像，所以对应f：A→B是映射． 对于集合A中的元素x＝0和x＝2，都对应于集合B中的同一个元素，所以不是一一映射． 1．映射应满足存在性：集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素；唯一性：集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应． 2．一一映射，在对应是映射的基础上，若B中没有剩余元素，且对应关系是“一对一”，则为一一映射． 1．下列集合A到集合B的对应中是一一映射的为________．(填序号) ①A＝N，B＝Z，f：x→y＝－x； ②A＝R＋，B＝R＋，f：x→y＝； ③A＝{－4，－1,1,4}，B＝{－2，－1,1,2}，f：x→y＝±； ④A＝{平面内边长不同的等边三角形}，B＝{平面内半径不同的圆}，f：作等边三角形的内切圆． ②④　[①是映射，不是一一映射，因为集合B中有些元素(正整数)没有原像．②是映射，是一一映射．不同的正实数有不同的唯一的倒数且仍是正实数，任何一个正实数都存在倒数．③不是映射，因为集合A中的元素(如4)对应集合B中的两