2.4.2　二次函数的性质（课件）-2021-2022学年高中数学必修1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

4.2　二次函数的性质 数学 课标要求:1.能熟练地对一般二次函数解析式配方,研究其定义域、值域、单调性、最值、对称性等性质.2.会求二次函数在给定区间上的最大值、最小值. 数学 新知导学 课堂探究 数学 新知导学·素养养成 [情境导学] 实例: 二次函数 y=3x2+2x+1, x∈R y=-3x2+2x+1, x∈R 图像 开口方向 向上 向下 数学 数学 二次函数的性质 知识探究 数学 性 质 抛物线开口向 ,并向上无限延伸 抛物线开口向 ,并向下无限延伸 对称轴是x= . 顶点坐标是 . 对称轴是x= . 顶点坐标是 . 在区间 上是减少的,在区间 上是增加的 在区间 上是增加的,在区间 上是减少的 抛物线有最低点,当x=- 时,y有 最小值,ymin= . 抛物线有最高点,当x=- 时, y有最大值,ymax= . 上 下 数学 题型一 课堂探究·素养提升 二次函数的性质 [例1] (1)若函数f(x)=x2+2mx+1在区间[-1,2]上是单调的,则实数m的取值范围是 　　　　;  (2)如果函数f(x)=x2+bx+1对任意实数x都有f(2+x)=f(2-x),则f(1),f(2)的值分别为　　　　.  解析:(1)函数f(x)=x2+2mx+1=(x+m)2+1-m2,其图像的对称轴为x=-m,若函数在 [-1,2]上是单调的,说明图像的对称轴不在区间[-1,2]内部,故有-m≤-1或 -m≥2,得m≥1或m≤-2. 答案:(1)(-∞,-2]∪[1,+∞)　(2)-2,-3 数学 方法技巧 (1)二次函数的单调性由开口方向和对称轴两个因素共同确定. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x)或f(2a-x)=f(x),则f(x)的图像的对称轴为x=a. 数学 即时训练1-1:(1)已知函数f(x)=x2+2x-3在(-∞,a]上是减少的,则实数a的最大值为　　　　;  解析:(1)函数f(x)的图像的对称轴为x=-1, f(x)在(-∞,-1]上为减少的, 由题意(-∞,a]⊆(-∞,-1], 故a≤-1, 即a的最大值为-1. 答案:(1)-1 数学 答案:(2)(-∞,2] 数学 题型二 二次函数的最值(值域) [例2] 已知函数f(x)=x2+2ax+2. (1)当a=-1时,求函数f(x)在区间[-5,5]上的最大值和最小值; 解:(1)当a=-1时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1, 因为对称轴为x=1,1∈[-5,5], 故当x=1时,f(x)取得最小值,f(x)min=f(1)=1; 当x=-5时,f(x)取得最大值, f(x)max=f(-5)=(-5-1)2+1=37. 数学 (2)用a表示出函数f(x)在区间[-5,5]上的最值. 解:(2)函数f(x)=x2+2ax+2=(x+a)2+2-a2的图像开口向上,对称轴为x=-a. ①当-a≤-5,即a≥5时,函数在区间[-5,5]上是增加的,所以f(x)max=f(5)=27+10a, f(x)min=f(-5)=27-10a; ②当-5<-a≤0,即0≤a<5时,函数图像如图(1)所示, 由图像可得f(x)min=f(-a)=2-a2, f(x)max=f(5)=27+10a; ③当0<-a<5,即-5<a<0时,函数图像如图(2)所示, 由图像可得f(x)max=f(-5)=27-10a, f(x)min=f(-a)=2-a2; ④当-a≥5,即a≤-5时,函数在区间[-5,5]上是减少的,所以f(x)min=f(5)=27+10a,f(x)max=f(-5)=27-10a. 数学 方法技巧 (1)求二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在[m,n]上的最值的步骤: ①配方,找对称轴; ②判断对称轴与区间[m,n]的关系; ③求最值.若对称轴在区间外,则f(x)在[m,n]上单调,利用单调性求最值;若对称轴在区间内,则在对称轴取得最小值,在区间[m,n]的端点处取得最大值. (2)比较二次函数值的大小的方法 若抛物线开口向上,则离对称轴越近函数值越小,若抛物线开口向下,则离对称轴越近函数值越大. 数学 即时训练2-1:已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R. (1)若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,求f(x)的解析式,并写出单调区间; 数学 (2)在(1)的条件下,f(x)>x+k在区间[-3,-1]上恒成立,试求实数k的取值范围. 数学 题型三 二次函数的实际应用 [例3] 某企业生产一种电器的固定