2.4.2 二次函数的性质-2021-2022学年高中数学必修1【名师导航】同步Word教参(北师大版)

4.2　二次函数的性质 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解二次函数的定义域、值域、单调性、对称性．(重点) 2．能利用配方法或图像法掌握二次函数的重要性质．(重点) 3．会求二次函数在给定闭区间上的最大值与最小值．(难点、易混点) 1．通过配方法与图像法研究二次函数的性质，提升数学抽象素养． 2．通过求二次函数在给定区间上的最值，培养数学运算、逻辑推理素养. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质 阅读教材P45～P47本节有关内容，完成下列问题． a的符号 性质　　 a>0 a<0 图像 开口方向 开口向上 开口向下 顶点 坐标 对称轴 x＝－ x＝－ 单调 区间 在区间 上是减少的， 在区间 上是增加的 在区间 上是增加的， 在区间 上是减少的 最大值、 最小值 当x＝－时， 函数取得最小值 ；无最大值 当x＝－时， 函数取得最大值 ；无最小值 思考：如何判断二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与x轴有无公共点？ [提示]　利用判别式Δ＝b2－4ac来判断． 当Δ>0时，有两个不同的公共点； 当Δ＝0时，有唯一公共点； 当Δ<0时，无公共点． 1．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋5满足条件f(－1)＝f(3)，则f(2)＝(　　) A．8　　 B．6 C．5 D．与a，b的值有关 C　[由f(－1)＝f(3)，得其图像关于直线x＝＝1对称，所以，f(2)＝f(0)＝5.] 2．若函数f(x)＝x2－2ax在(－∞，5]上是递减的，在[5，＋∞)上是递增的，则实数a＝________. 5　[由题知二次函数图像的对称轴为5. ∴a＝5.] 3．函数y＝x2－6x－3(x≤0)的最小值是________． －3　[∵y＝x2－6x－3＝(x－3)2－12， ∴它在(－∞，0]上递减， ∴ymin＝(0－3)2－12＝－3.] 4．函数y＝－x2＋3x－2的单调递增区间是________． ，＋　[∵y＝－x2＋3x－2＝－ ∴其单调递增区间是.] 二次函数的性质 【例1】　(1)若函数f(x)＝x2＋2mx＋1在区间[－1,2]上是单调的，则实数m的取值范围是________． (2)如果函数f(x)＝x2＋bx＋1对任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，则f(1)，f(2)的值分别为________． (1)(－∞，－2]∪[1，＋∞)　(2)－2，－3　[(1)函数f(x)＝x2＋2mx＋1＝(x＋m)2＋1－m2，其图像对称轴为x＝－m，若函数在[－1,2]上是单调的，说明图像对称轴不在区间[－1,2]内部，故有－m≤－1或－m≥2，得m≥1或m≤－2. (2)由题意知，函数图像关于x＝2对称， 故－＝2，得b＝－4，所以f(x)＝x2－4x＋1，所以f(1)＝1－4＋1＝－2，f(2)＝4－8＋1＝－3.] (1(二次函数的单调性由开口方向和对称轴两个因素共同确定； (2(若函数f(x(满足f(a＋x(＝f(a－x(或f(2a－x(＝f(x(，则f(x(的对称轴为x＝a； (3(若函数f(x(满足f(a－x(＝f(b＋x(，则f(x(的对称轴为x＝\f(a＋b,2). 1．(1)已知函数f(x)＝x2＋2x－3在(－∞，a]上是减函数，则实数a的最大值为________． (2)如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________． (1)－1　(2)(－∞，2]　[(1)函数f(x)的对称轴为x＝－1， f(x)在(－∞，－1]上为减函数， 由题意(－∞，a](－∞，－1]， 故a≤－1， 即a的最大值为－1. (2)因为二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5的图像的对称轴为直线x＝，解得a≤2.]≤上是增函数，所以，又函数f(x)在区间 二次函数的实际应用 【例2】　某企业生产一种电器的固定成本(即固定投资)为0.5万元，每生产一台这种电器还需可变成本(即另增加投资)25元，市场对这种电器的年需求量为5百台．已知这种电器的销售收入(R)与销售量(t)的关系用抛物线段表示，如图所示． (年产量与销售量的单位：百台；纯收益的单位：万元，生产成本＝固定成本＋可变成本，精确到1台和0.01万元) (1)写出如图的销售收入(R)与销售量(t)之间的函数关系R＝f(t)； (2)认定销售收入减去生产成本为纯收益，写出纯收益与去年生产量的函数关系式，并求去年生产量是多少时纯收益最大． [解]　(1)由图可知：R＝a(t－5)2＋， 由t＝0时，R＝0得a＝－. ∴R＝－(0≤t≤5)．(t－5)2＋ (2)年纯收益y＝－t－0.5，t2＋t＝－t2＋5t－0.5－ 故t＝＝4.75时，