3.4.2　换底公式（课件）-2021-2022学年高中数学必修1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

4.2　换底公式 数学 课标要求:1.理解换底公式的证明过程,会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数,能正确运用换底公式计算一般对数.2.能灵活地将换底公式和对数的运算法则结合起来,进行对数运算. 数学 新知导学 课堂探究 数学 新知导学·素养养成 [情境导学] 实例:数学史上,人们经过大量的艰苦努力,制作了常用对数表和自然对数表,只要通过查表就可以求出任意正数的常用对数和自然对数,那么如何将一个其他底的对数转换为以10或e为底的对数呢? 想一想 如何将log314转化为以10为底的对数? 数学 知识探究 logbN 探究:loga b与logb a,lob与loga b有什么关系? 数学 题型一 课堂探究·素养提升 利用换底公式化简或求值 [例1] 计算:(1)log1627·log8132; (2)(log32+log92)(log43+log83). 名师导引:在两个式子中,对数的底数都不相同,因而要用换底公式进行换底便于计算求值. 数学 思维总结 利用换底公式计算、化简、求值问题的思路 一是先利用对数的运算性质进行部分运算,最后再换成同一底数进行计算;二是一次性地统一换为常用对数(或自然对数),再化简、通分、求值. 数学 数学 题型二 换底公式的运用 数学 方法技巧 换底公式的主要用途在于将一般对数化为常用对数或自然对数,换底公式的本质是化同底,这是解决对数问题的基本方法,所换底数可根据对数式特点灵活选择. 数学 即时训练2-1:已知log62=p,log65=q,则lg 5=　　　　.(用p,q表示)  数学 题型三 对数与指数的综合应用 名师导引:通过取对数或利用指数式与对数式转化表示出x,y,z的值进行证明. 数学 数学 方法技巧 求解与幂指数有关的问题时,常利用对数式与指数式的互化求出指数后再求解. 数学 数学 备选例题 数学 数学 达标检测 D 解析:A中换成以10为底的对数,B中换成以e为底的对数,C中换成以4为底的对数,D中换成以1为底的对数是错误的,因为对数的底数不能为1.故选D. 数学 2.lg 20+log10025=　　　　.  答案:2 数学 3.若logab·log3a=4,则b=　　　　.  答案:81 数学 4.若mlog35=1,n=5m,则n的值为　　　.  答案:3 数学 1.利用换底公式计算、化简、求值、证明时,有两种思路: (1)根据题目特点,先换部分对数的底数进行运算;(2)直接把题中对数全换成统一底数的对数进行运算. 课堂小结 2.换底公式常用推论 lobn=logab(a>0,a≠1,b>0,n≠0); logab·logba=1(a>0,b>0,a≠1,b≠1); logab·logbc·logcd=logad(a>0,a≠1,b>0,b≠1,c>0,c≠1,d>0). 3.运用换底公式应注意:(1)化成同底的对数时,要注意换底公式的正用、逆用以及变形运用.(2)题目中有指数式和对数式时,要注意将指数式与对数式统一成一种形式. 数学 点击进入 课时作业 数学 答案:设log314=x,所以3x=14,两边取常用对数xlg 3=lg 14,所以x=,此时即可查表求值. 对数换底公式 =(a,b>0,a,b≠1,N>0). 答案:loga b·logb a=1,lob=loga b. 拓展提升:lo bn=logab(b>0,a>0且a≠1) 解:(1)log1627·log8132=×=×=×=. (2)(log32+log92)(log43+log83)=(log32+)(+) =(log32+log32)(log23+log23)=log32×log23=××=. 即时训练1-1:计算:. 解:原式= = =-log32·log23 =-·· =-. [例2] (1)已知log189=a,18b=5,用a,b表示log3645; (2)已知log142=a,用a表示lo7. 解:(1)因为18b=5, 所以b=log185,log3645===. (2)因为log142=a, 所以log214=, 所以1+log27=, 所以log27=-1. 由对数换底公式,得lo7==2log27=2(-1)=. 解析:因为log62=p,log65=q,所以lg 5===. 答案: [例3] 设x,y,z∈(0,+∞)且3x=4y=6z=k. 求证:+=. 证明:法一　因为3x=4y=6z=k, 所以x=log3k,y=log4k,z=log6k, 所以+=+=logk3+logk2=logk6==. 所以+=. 法二　由3x=4y=6z=k得 lg 3x=lg 4y=lg 6z=lg k, 所以xlg 3=ylg 4=zlg 6=