4.1.2　利用二分法求方程的近似解（课件）-2021-2022学年高中数学必修1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

1.2　利用二分法求方程的近似解 数学 课标要求:1.了解二分法求方程的近似解的思想方法.2.会用二分法求具体方程的近似解. 数学 新知导学 课堂探究 数学 新知导学·素养养成 [情境导学] 实例:某电视台有一档娱乐节目给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会,如果猜中,就把物品奖励给选手,同时获得一枚商标.某次猜某种品牌的手机,手机价格在500～1 000元之间.选手开始报价:1 000元,主持人回答:高了;紧接着报价900元,高了;700元,低了;800元,低了;880元,高了;850元,低了;851元,恭喜你,你猜中了.表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分,实际上,游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想,你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗? 解:取价格区间[500,1 000]的中点750, 如果主持人说低了,就再取[750,1 000]的中点875; 否则取另一个区间[500,750]的中点;若遇到小数,则取整数. 照这样的方案,游戏过程猜价如下: 750,875,812,843,859,851,经过6次可以猜中价格. 数学 想一想 实例中是采用什么方法来猜中价格的? 答案:通过把价格所在的范围一分为二,取中间值的方法来逐渐逼近真实的价格. 数学 知识探究 二分法的概念和步骤 (1)二分法的概念 对于图像在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),每次取区间的中点,将区间 ,再经比较,按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法.由函数的零点与相应方程根的关系,可用二分法来求方程的近似解. 一分为二 (2)用二分法求方程的近似解的过程 如图所示,在图中: 数学 “初始区间”是一个两端函数值 号的区间; “M”的含义是:取新区间,一个端点是原区间的 ,另一端是原区间两端点中的一个,新区间两端点的函数值反号; “N”的含义是:方程解满足要求的 . “P”的含义是:选取区间内的任意一个数作为方程的近似解. 在二分法求方程解的步骤中,初始区间的选定,往往需要通过分析函数的 和 .初始区间可以选得不同,不影响最终计算结果. 反 中点 精度 性质 试验估计 数学 探究:二分法能求任意零点吗? 答案:不能,利用二分法只能求变号零点. 拓展提升:用二分法求方程f(x)=0的近似解的步骤 (1)确定区间[a,b],使f(a)·f(b)<0; (2)求区间(a,b)的中点x0; (3)计算f(x0): ①若f(x0)=0,则x0就是函数的零点; ②若f(a)·f(x0)<0,则令b=x0(此时零点x0∈(a,x0)); ③若f(x0)·f(b)<0,则令a=x0(此时零点x0∈(x0,b)). (4)判断是否达到精度ε: 若|a-b|≤ε,那么区间(a,b)内任意一个数都是满足精度ε的近似值;否则重复(2)～(4). 数学 题型一 课堂探究·素养提升 二分法概念的理解 [例1] 下列选项中函数的图像与x轴均有交点,但不能用二分法求交点横坐标的是(　　) 解析:按定义,y=f(x)在[a,b]上是连续的,且f(a)·f(b)<0,才能不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,进而利用二分法求出函数f(x)的零点.故结合各图像可得选项B,C,D满足条件,而选项A中,函数图像经过零点x0时,函数值不变号,因此不能用二分法求解.故选A. 数学 易错警示 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是:其图像在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不适用. 数学 解析:图像在零点附近是连续不断的,且零点左、右两侧的函数值符号相反时,能用二分法求函数零点,故选B. 即时训练1-1:观察下列函数图像,其中能用二分法求零点的是(　　) 数学 题型二 利用二分法求函数零点的近似值或方程近似解 [例2] 利用二分法,求方程ln x=3-x的根(精度为0.1). (以下数据可供参考ln 2.5≈0.916 3,ln 2.25≈0.810 9,ln 2.125≈ 0.753 8,ln 2.75≈1.011 6,ln 2.187 5≈0.782 8,ln 2.218 75≈ 0.796 9,ln 2.471 25≈0.904 7) 解:令f(x)=ln x+x-3, 因为f(2)=ln 2-1<0,f(3)=ln 3>0, 所以可取初始区间为(2,3). 数学 列表如下: 区间 中点的值 中点函数近似值 (2,3) 2.5 0.416 3 (2,2.5) 2.25 0.060 9 (2,2.25) 2.125 -0.121 2 (2.125,2.25) 2