4.1.2 利用二分法求方程的近似解-2021-2022学年高中数学必修1【名师导航】同步Word教参(北师大版)

1.2　利用二分法求方程的近似解 学 习 目 标 核 心 素 养 1.根据具体函数的图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解．(重点) 2.学习利用二分法求方程近似解的过程和方法．(难点) 1．通过具体函数图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解，培养数学运算素养. 2.通过学习利用二分法求方程近似解的过程和方法，提升直观想像、逻辑推理素养. 利用二分法求方程的近似解 阅读教材P117～P119整节课的内容，完成下列问题． (1)二分法的概念 对于图像在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法． (2)用二分法求方程的近似解的过程 在图中： “初始区间”是一个两端函数值反号的区间； “M”的含义是：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号； “N”的含义是：方程解满足要求的精度； “P”的含义是：选取区间内的任意一个数作为方程的近似解． 思考：用二分法求函数近似零点时，函数应满足哪些条件？ [提示]　(1)f(x)在区间[a，b]上的图像连续； (2)在区间[a，b]端点的函数值f(a)·f(b)<0. 1．下列函数图像与x轴均有交点，其中能用二分法求零点的是(　　) C　[C中函数的零点是变号零点，故选C.] 2．在用二分法求函数f(x)的一个零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，若精确度为0.1，则函数f(x)的零点近似值可为(　　) A．0.64　　 B．0.65 C．0.70 D．0.73 C　[∵f(0.72)>0，f(0.68)<0，∴f(x)在(0.68,0.72)内至少有一个零点，又|0.72－0.68|<0.1，故其零点的近似值可为0.70.] 3．在下面给出的四个函数中，需要用二分法求其零点的是________． ①y＝x＋π；②y＝3x－1；③y＝ln x；④y＝－x. ④　[①②③可直接解出来，不需要用二分法去求，而④无法直接解出来，故应填④.] 4．用“二分法”求2x＋log2x－4＝0在区间(1,3)内的根．如果取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________． (1,2)　[令f(x)＝2x＋log2x－4，则f(1)＝－2<0，f(2)＝1>0， 由零点存在性定理知，f(x)在区间(1,2)内至少存在一个零点． 所以，下一个有根的区间是(1,2)．] 二分法概念的理解 【例1】　下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是(　　) A　　　　　B　　　　　C　　　　　　D [思路探究]　→ A　[按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)＜0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图像可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图像经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A.] 1．准确理解“二分法”的含义．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点． 2．“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图像在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点． 1．(1)下列函数中，能用二分法求零点的为(　　) A　　　　　B　　　 　C　 　　　D (2)用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是(　　) ①f(x)在区间[a，b]是连续不断的；②f(a)·f(b)＜0；③f(a)·f(b)＞0；④f(a)·f(b)≥0. A．①②　　 B．①③ C．①④ D．①②③ (1)B　(2)A　[(1)函数图像连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函数零点才能使用二分法求解，观察四个函数图像，只有B选项符合． (2)由二分法的意义，知选A.] 利用二分法求方程的近似解 【例2】　求方程lg x＝－1的近似解(精度为0.1)． [解]　如图所示，由函数y＝lg x与y＝－1有唯一实数解，且在区间[0,1]内．－1的图像可知，方程lg x＝ 设f(x)＝lg x－>0，用计算器计算，列表如下：＋1，f(1)＝ 取值区间 中点值 中点函数近似值 区间长度 (0,1) 0.5 －0.008 1 1 (0.5,1) 0.75 0.280 5 0.5 (0.5,0.75) 0.625 0.147 5 0.25 (0.5,0.625) 0.562 5 0.073 0 0.125