2.2.1　对数与对数运算（课件）-2021-2022学年高中数学必修1【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

第二课时　对数的运算 数学 [目标导航] 课标要求 1.掌握对数的运算性质,并会利用对数运算性质进行化简、求值. 2.了解对数的换底公式及其推导,能应用对数换底公式进行化简、求值、证明. 3.通过对数运算性质、换底公式,体会转化思想在对数中的作用. 素养达成 1.通过对数运算性质以及对数的换底公式的推导,培养逻辑推理的核心素养. 2.通过对数运算性质以及对数的换底公式在化简、求值中的应用,培养数学运算的核心素养. 3.通过利用对数解决相关问题,感知应用数学解决问题的方法,培养数学建模的核心素养. 数学 新知导学 课堂探究 数学 新知导学·素养养成 1.对数的运算性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么: (1)loga(M·N)= ; logaM+logaN logaM-logaN (3)logaMn= (n∈R). 思考1:loga(MN)=logaM+logaN是否成立? 答案:不一定,当M>0且N>0时,该式成立,当M<0,N<0时,该式不成立. nlogaM 数学 思考2:你能用对数定义证明对数换底公式吗? 数学 名师点津 (1)对数运算性质与指数运算性质的联系. 数学 ③logab·logba=1; ④logab·logbc·logcd=logad. 数学 题型一 课堂探究·素养提升 对数运算性质的应用 (2)原式=2lg 5+2lg 2+(lg 10-lg 2)(lg 10+lg 2)+(lg 2)2=2lg 10+1-(lg 2)2+ (lg 2)2=2+1=3. 数学 方法技巧 (1)本题主要考查对数式的化简与计算.解决这类问题一般有两种思路:一是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;二是将式中对数的和、差、积、商逆用对数的运算性质化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值. (2)对数计算问题中,涉及lg 2,lg 5时,常利用lg 2+lg 5=1及lg 2=1-lg 5,lg 5=1-lg 2等解题. 数学 (3)(lg 5)2+lg 2·lg 50. (3)原式=(lg 5)2+lg 2·(lg 2+2lg 5) =(lg 5)2+2lg 5·lg 2+(lg 2)2 =(lg 5+lg 2)2=1. 数学 题型二 换底公式及其应用 数学 数学 方法技巧 (1)在化简或计算求值时,若已知式子中含不同底数,则常利用对数换底公式转化为同底数对数后求解. 数学 数学 [备用例1] 已知x,y,z为正数,3x=4y=6z,且2x=py. (1)求p; 数学 数学 题型三 含附加条件的对数式求值问题 数学 (2)已知log189=a,18b=5,试用a,b表示log3645. 数学 数学 数学 方法技巧 (1)涉及指数式中的指数问题,可利用指对数式的互化,将指数式化为对数式后求指数. (2)涉及多个幂式相等问题,常将幂式值设出,转化为对数后求解. 数学 数学 题型四 易错辨析 [例4] 解方程lg x4-lg x2=2. 错解:因为lg x4-lg x2=2, 所以4lg x-2lg x=2, 所以lg x=1, 所以x=10. 纠错:已知方程中x的取值范围是x∈R且x≠0,而变形后的x范围是x>0,缩小了x的范围,从而失根. 数学 经验分享区 (1)对数的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行. (2)利用对数的换底公式能够将不同底的对数化为常用对数或自然对数或同底的对数,即可用对数的运算性质来解决对数求值问题,同时要注意换底公式的逆用和变形用. (3)求解对数方程时,要注意等价变形,不要扩大或缩小x的范围.如解方程log5(2x+1)=log5(x2-2),则变形为2x+1=x2-2后要保证2x+1>0,x2-2>0,因此由x2-2=2x+1得x=3或x=-1后应舍去x=-1. 数学 课堂达标 C 1.若lg (ab)=1,则lg a2+lg b2等于(　 　) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析:由lg (ab)=1,得ab=10. lg a2+lg b2=lg (a2b2)=lg 102=2.故选C. 数学 A 数学 A 数学 数学 数学 点击进入 课时作业 数学 (2)loga= ; 2.对数换底公式 logab=(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1). 答案:设logbN=x,则bx=N.两边取以a为底的对数,得logabx=logaN,得xlogab=logaN,所以x=,即logbN=. 即换底公式:logbN=(a>0且a