3.2.2　函数模型的应用实例（课件）-2021-2022学年高中数学必修1【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

3.2.2　函数模型的应用实例 数学 [目标导航] 课标要求 1.了解函数模型的广泛应用. 2.能够利用已知的函数模型求解实际问题. 3.通过对数据的合理分析,能够建立数学模型解决实际问题. 4.能归纳掌握求解函数应用题的步骤. 素养达成 1.通过函数模型的广泛应用培养数学抽象、直观想象的核心素养. 2.通过利用题中的数据及其蕴涵的关系建立数学模型,解决实际问题培养数学运算以及数学建模的核心素养. 数学 新知导学 课堂探究 数学 新知导学·素养养成 1.函数模型应用的两个方面 (1)利用已知函数模型解决问题. (2)建立恰当的函数模型,并利用所得函数模型解释有关现象,对某些发展趋势进行预测. 数学 2.常见的函数模型 ax+b(a,b为常数且a≠0) ax2+bx+c(a,b,c为常数且a≠0) k·ax+b(k,a,b为常数且a>0,a≠1,k≠0) k·xn+b(k,b,n为常数,且k≠0) 数学 3.建立函数模型解决问题的基本过程 数学 题型一 课堂探究·素养提升 利用已知函数模型解决问题 [例1] (12分)某种基金类产品在30天内每份的交易价格P(元)与时间t (天)组成有序数对(t,P),点(t,P)恰好落在如图中的两条线段上,该基金类产品在30天内(包括第30天)的日交易量Q(万份)与时间t(天)的部分数据如表所示. 第t天 5 10 14 23 Q/万份 25 20 16 7 数学 (1)①根据提供的图象,写出该基金类产品每份交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数解析式; ②根据表中数据确定日交易量Q(万份)与时间t(天)的一次函数解析式; 数学 (2)在(1)的结论下,用y(万元)表示该基金类产品日交易额(日交易额=每份交易价格×日交易量),写出y关于t的函数关系式,并求出这30天中第几天的日交易额最大,最大值为多少? 数学 方法技巧 利用已知函数模型求解实际问题时,要注意根据函数模型的特点寻找规律.涉及分段函数模型时,由于分段函数每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段变化量的范围,特别是端点值. 数学 (1)将利润表示为月产量x的函数f(x); 数学 (2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元? 数学 题型二 指数型函数模型 [例2] 王叔叔在2013年将198 000元用于某种基金投资,每年将所获收益的一半取出用于家庭开支,另一半收益作基金总额继续投资.假设该基金平均年利率为r=6.24%,设f(x)表示第x(x∈N*)年后的基金总额(2013年记为f(1),2014年记为f(2),…,依此类推). (1)用f(1)表示f(2)和f(3),并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式; 数学 (2)试根据题中所给信息,判断2023年为多少?(参考数据:1.031 29≈1.32) 数学 方法技巧 数学 题型三 对数型函数模型 (1)若x0=2,候鸟每分钟的耗氧量为8 100个单位时,它的飞行速度是多少? 数学 (2)若x0=5,候鸟停下休息时,它每分钟的耗氧量为多少个单位? (3)若雄鸟的飞行速度为2.5 km/min,雌鸟的飞行速度为1.5 km/min,那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍? 数学 方法技巧 (1)形如y=mlogax+n(a>0,a≠1,m≠0),其特点为当a>1,m>0时,y随自变量x的增大而增大,且函数值增大的速度越来越慢. (2)对于对数型函数模型问题,关键在于熟练掌握对数函数的性质,在认真审题的基础上,分析清楚底数a与1的大小关系,要关注自变量的取值范围. 借助于数学模型解决数学问题的同时,实际问题也得以顺利解决,这就是函数模型的作用. 数学 即时训练3-1:某研究所对近期每天的空气污染情况进行调查研究后发现,每一天中空气污染指数f(x)与时刻 x(时) 的函数关系为f(x)=|log25(x+1)-a|+2a+1, x∈[0,24],其中a为空气治理调节参数,且a∈(0,1). 数学 (2)规定每天中f(x)的最大值作为当天的空气污染指数,要使该市每天的空气污染指数不超过3,则调节参数a应控制在什么范围内? 数学 题型四 易错辨析 [例4] 生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,它可以表示为商品数量的函数.现知一企业生产某种商品的数量为x(件)时的成本函数为y=(10+2x+2x2)万元,若售出一件商品的价格是20万元,那么该企业所能获取的最大利润是多少? 错解:设该企业所能获取的利润为z万元,则z=20x-(10+2x+2x2), 即z=-2x2+18x-10=-2(x-4.5)2+30.5,故z的最大值为30.5, 即该企业所能获取