专题06 求三角形边长的范围及最值-【题型专项突破系列之解三角形】备战2022年高考数学大题保分专练(全国通用)

专题06 解三角形之求三角形边长的范围及最值 一、解答题(共40题) 1．记中内角，，的对边分别为，，.已知，. （1）求； （2）点，位于直线异侧，，.求的最大值. 【答案】（1）；（2）最大值. 【分析】 （1）由已知条件可得，利用正弦定理化边为角结合 利用两角和的正弦公式展开整理可求得的值，即可得角； （2）结合（1）化角为边可得 ，即，在中由余弦定理求，利用三角恒等式变换以及三角函数的性质可得最大值. 【详解】 （1）因为， 所以. 由正弦定理得：. 因为，， 所以， 所以， 所以，又因为，所以， 可得：，因为，所以； （2）由（1）知， 由正弦定理可得， 即， 由余弦定理得 ， 所以当且仅当时，取得最大值， 所以取得最大值. 2．在①，②，③三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答. 已知锐角的内角，，的对边分别为，，，满足___________（填写序号即可） （1）求； （2）若，求的取值范围. 注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】（1）条件选择见解析；；（2）. 【分析】 （1）选①，利用正弦定理化简已知条件，由此求得，进而求得.选②，利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得，进而求得.选③，先求得，由此求得. （2）用表示出，结合的取值范围，求得的取值范围. 【详解】 （1）若选①，由正弦定理得， 因为，所以， 又因为，所以. 若选②，由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 又因为，所以. 若选③，， 从而得，又因为，所以. （2）由正弦定理得， ， 所以， 由是锐角三角形可得，得，则， 因为在上单调递增，所以，从而， 所以的取值范围为. 3．在①，②，③三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答． 已知锐角的内角，，的对边分别为，，，满足______（填写序号即可） （1）求； （2）若，求的取值范围． 注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】选择见解析；（1）；（2）． 【分析】 （1）若选①：由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式以及三角形的内角和即可求解； 若选②：由正弦定理化角为边结合余弦定理即可求解；若选③：由两角和的余弦公式以及同角三角函数基本关系求出的值，即可求解； （2）利用正弦定理可得结合可转化为关于的函数，利用锐角三角形求出的范围，由三角函数的性质即可求解. 【详解】 （1）若选①，由正弦定理得， 因为，所以， 又因为，所以； 若选②，由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 又因为，所以； 若选③，， 从而得， 又因为，所以； （2）由正弦定理得 ， 由是锐角三角形可得，得， 因为在上单调递增，所以， 从而，所以． 4．已知中，内角所对的边分别为，，是边上一点，． （1）若，，求； （2）若，求的最大值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）利用正弦定理和同角三角函数的关系将化为，从而可求出，，然后在利用余弦定理求出； （2）解法一：由，，平方化简后可得，再利用基本不等式可求得答案；解法二：设，则，，然后在和利用余弦定理，结合可得，在利用余弦定理可得，从而得，再利用基本不等式可求得答案； 【详解】 解：(1)，， ，，， ∴， ∵，， 在中，由余弦定理得，， ∴ （2）解法一：，因为，所以，即， 整理得到，两边平方后有， 所以即， 整理得到， 所以， 因为，所以， ，当且仅当时等号成立， 所以的最大值． 解法二：设，则，， 在中，， 在中，， 又， 所以，解得，① 在中，，即，② 由①②可得． 所以， 因为，所以， ，当且仅当时等号成立， 所以的最大值． 5．已知的内角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求； （2）若，为边的中点，求的最小值． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）直接利用正弦定理及余弦定理，求出的值． （2）根据三角形的面积公式和平面向量基本定理，利用基本不等式即可求得的最小值． 【详解】 解：（1）中，内角，，的对边分别为，，，且． 利用正弦定理得：， 整理得：，即， 由于， 所以：． （2）因为的面积为，解得； 在中，,两边同平方得： ， 当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为． 6．在三角形中，∠A、∠B、∠C分别对应的边为a，b，c，且满足关系式为： （1）求∠C的的大小； （2）若c=2，求的取值范围 【答案】（1）∠C=30°；（2）（4，16+]． 【分析】 (1)根据诱导公式和两角和的正切公式可得tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC，结合题意即可得出∠C=30°； (2)结合余弦定理和基本不等式即可. 【详解】 （1）∵tan（A+B）=tan（=-tanC tan（A+B）= ∴-tanC= ∴tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC 又有=, ∴=，