专题09 有关高线,中线,角分线问题-【题型专项突破系列之解三角形】备战2022年高考数学大题保分专练(全国通用)

专题09 解三角形之有关高线,中线,角分线问题 一、解答题(共30题) 1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. （1）求角B； （2）若△ABC外接圆的半径为，且AC边上的中线长为，求△ABC的面积和周长. 【答案】（1）；（2），. 【分析】 （1）利用正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得sinC=2sinCcosB，结合sinC≠0，可求cosB=，结合范围B∈（0，π），可求B的值. （2）由已知利用正弦定理可求b的值，设D为AC边上的中点，则，，解法一：根据∠ADB+∠BDC=π，利用余弦定理可求ac的值，进而由三角形面积公式可求三角形面积，利用余弦定理可求a+c的值，即可得解周长的值；解法二：利用向量加法法则得：，两边平方利用平面向量数量积的运算可求25=c2+a2+ac，由余弦定理可得9=c2+a2﹣ac，联立解得ac的值，结合三角形的面积公式可求三角形的面积，利用余弦定理可求a+c的值，即可得解三角形周长的值. 【详解】 解：（1）由，得2bcosC=2a﹣c， 利用正弦定理得：2sinBcosC=2sinA﹣sinC，即2sinBcosC=2sin（B+C）﹣sinC， 化简得sinC=2sinCcosB， ∵C∈（0，π），sinC≠0， ∴， 又∵B∈（0，π）， ∴. （2）由正弦定理得， 设D为AC边上的中点，则，， 解法一：在△BCD中，， 在△ABD中，， ∵∠ADB+∠BDC=π，∴cos∠ADB+∠BDC=0，∴a2+c2=17， 由余弦定理b2=c2+a2﹣2accosB，即9=c2+a2﹣ac，ac=8， 由三角形面积公式得：， 由25=c2+a2+ac，得， 所以周长为. 解法二：利用向量加法法则得：， 两边平方得：，即25=c2+a2+ac， 由余弦定理b2=c2+a2﹣2accosB，即9=c2+a2﹣ac， 两式相减得16=2ac，即ac=8， 由三角形面积公式得：， 由25=c2+a2+ac，得， 所以周长为. 2．在中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若的面积为，为的中点，求的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由正弦定理化边为角求出的值即可得角； （2）根据三角形的面积可得的值，在中，由余弦定理结合基本不等式即可求解. 【详解】 （1）因为， 由正弦定理可得：， 所以，即 因为，所以，可得， 因为，所以； （2）由题意知，可得：， 由余弦定理得：， 当且仅当且，即，时取等号， 所以的最小值为. 3．在中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且． （1）求； （2）若D为上点，平分角A，且，，求． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）由题意和正弦定理得到，利用余弦定理求得，即可求解； （2）利用，化简得到，进而求得，结合因为，即可求解. 【详解】 （1）因为， 由正弦定理可得，整理得， 由余弦定理，可得， 又因为，可得． （2）因为D为上点，平分角，则， 又由， 可得， 又因为，可得，解得， 因为，所以． 4．已知中，分别为角的对边，且． （1）求； （2）若为边的中点，，求的面积． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）利用正弦定理化边为角可得，化简可得，结合，即得解； （2）在中，由余弦定理得，可得，利用面积公式即得解 【详解】 （1）中由正弦定理及条件， 可得，∵，，∴， ∵，∴， 或， 又∵，∴，∴，，∴ （2）为边的中点，，，得， 中，由余弦定理得 ， ∴， ∴，∵，∴， ． 5．在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，，角A的角平分线交BC于点D，且，． （1）求角A的大小； （2）求线段AD的长． 【答案】 （1） （2） 【分析】 (1)根据给定条件利用诱导公式及和角的正弦公式整理变形即可计算得解. (2)利用(1)的结论，借助三角形面积公式即可计算作答. （1） 在中，，因， 则有：，即， 又，即有，而， 所以. （2） 在中，由(1)知，因为AD为角A的角平分线，则有， 由得：， 解得， 所以线段AD的长为. 6．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求C； （2）已知，设D为边的中点，若，求a 【答案】 （1） （2） 【分析】 （1）利用正弦定理化边为角，可得，再结合，利用正弦的和角公式展开化简可得，即得解； （2）由题意，，即，利用数量积的运算律展开计算，即得解 （1） 由正弦定理， 又，故 ， 即，又 则，则，故； （2） 因为D为边的中点，所以，则， 化简得， 解得（舍负） 7．（题文）在中，角的对边分别是，且. （1）若，求； （2）求证：边上的高依次成等差数列. 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【解析】 试题分析：（1）要求，如果能求得三角形的三