专题08 求三角函数值范围及最值-【题型专项突破系列之解三角形】备战2022年高考数学大题保分专练(全国通用)

专题08 解三角形之求三角函数值范围及最值 一、解答题(共30题) 1．设中角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）若，，求b； （2）求的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用余弦定理求解即可； （2）利用两角和与差公式和辅助角公式化简，结合正弦函数的性质可得的取值范围． 【详解】 （1）∵， ∴． ∴，∴． （2）∵，∴，． ∴， 又∵，． ∴的取值范围是． 2．如图，在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，． （1）求证：； （2）求的取值范围． 【答案】 （1）证明见解析. （2）. 【分析】 （1）连接AF，由三角形的重心性质可得．再在和在中运用余弦定理可得证. （2）由（1）可得．再由余弦定理得，设，．令，由函数的单调性可求得的取值范围． （1） 解：连接AF，由题意知AF，BE，CD的交点G为的重心． 由，可得，，则．（三角形重心的性质的应用） 在中，由余弦定理得，① 在中，由余弦定理得．② 因为，所以， ①+②，得． （2） 解：因为为锐角三角形，所以，，， 所以，， 则，即． 所以， 设，则，． 令，则在上单调递减，在上单调递增． 所以当时，，， 则， 故的取值范围为． 3．在锐角中，内角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）求的取值范围. 【答案】 （1） （2） 【分析】 （1）运用正弦定理化简题中边角关系，从而求解出角B的值，再根据锐角三角形确定B的取值； （2）将题中的式子化简为角A的的正弦函数的形式，再根据角A的范围确定函数的取值范围. 【详解】 【小问1详解】解：，， 或， 又是锐角三角形 ，； 【小问2详解】解：由（1）可知， ， 是锐角三角形，， ， ，即. 4．在中，角，，所对的边分别是，，，. （1）证明：； （2）求角的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】 （1）由，结合，即可得到 ，再利用正弦定理，化简即可； （2）由，得，然后分是锐角，是直角和是钝角三种情况求出的范围． 【详解】 （1）由余弦定理得， 代入并化简得， 由正弦定理得， 由得，得 整理得 即. （2）由，得， 当是锐角时，，解得. 当是直角时，不合题意； 当是钝角时，， 解得. 故角的取值范围是. 5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求证：； （2）若是锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】 （1）由正弦定理将角化边，再结合余弦定理得到，再利用正弦定理将边化角得到，即可得到，从而得证； （2）由（1）可知，再根据三角形为锐角三角形，得到角的取值范围，则，即可求出的取值范围； 【详解】 解：（1）由得 由余弦定理， 代入得， 则 由正弦定理得 所以，得 由知，故， 所以或（舍去） 所以 （2）由（1）可知，由得，所以， 因为，所以，，，所以，即 6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设的面积为S﹐且满足． （1）求角C的大小； （2）求的最大值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根据三角形的面积公式题中所给条件可得，可求出的值，再由三角形内角的范围可求出角的值； （2）由已知，再利用三角函数求最大值. 【详解】 （1）解：由题意可知． 所以． 因为， 所以； （2）解：由已知 ． 因为, 所以即时，取最大值. 所以的最大值是． 7．已知函数. （1）求函数f（x）的单调递减区间； （2）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，求acosB﹣bcosC的取值范围. 【答案】（1），；（2） 【分析】 （1）先利用降幂公式和辅助角公式化简函数的解析式，再利用整体代换解不等式的方法求函数的单调递减区间即可； （2）先根据求得，再利用正弦定理、三角形内角和定理及三角恒等变换等知识将化简为，最后结合角的范围求解即可. 【详解】 解：（1）由题意 ． 令，， 解得，， 故函数的单调递减区间为，； （2）由（1）知，解得， 因为，所以． 由正弦定理可知， 则，， 所以 在锐角中，易知，得， 因此，则． 故的取值范围为． 8．的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）求的最小值. 【答案】（1）；（2）最小值为. 【分析】 （1）由正弦定理及三角恒等变换求解即可； （2）三角恒等变换化简后，根据角的范围求最值即可. 【详解】 （1）因为，所以. 即， 所以， 得， 因为，所以，得. 又因为，所以，所以. （2）因为，所以， 因为. 因为，所以于，得. 所以. 所以当=时，的最小值为. 9．已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角； （2）求的最大值. 【答案】