专题07 求角度及三角函数值-【题型专项突破系列之解三角形】备战2022年高考数学大题保分专练(全国通用)

专题07 解三角形之求角度及三角函数值 一、解答题(共30题) 1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c． （1）若1+2cosAcosB＝2sinAsinB，求角C； （2）若，求角C． 【答案】 （1） （2） 【分析】 （1）根据两角和的余弦公式求出C的余弦值，求出C的值即可； （2）结合余弦定理求出C的正切值，求出C的值即可． （1） 若1+2cosAcosB＝2sinAsinB， 则cosAcosB﹣sinAsinB＝，即故， 即, 所以，由 ，故 （2） 若，显然， 所以， 又由tanA≠0得到tanC＝﹣1，，故． 2．在中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知． （1）求角C； （2）若，的面积为，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由正弦定理进行边角互化得．再根据余弦定理可求得答案； （2）根据三角形的面积公式求得．再由正弦定理可求得答案. 【详解】 解：（1）在中，由及正弦定理可得． 由余弦定理得，而，所以， 所以角C的值是． （2）因为．所以． 则由正弦定理得，于是有， 即，所以． 3．在△中，，，为边上一点，且． （1）求； （2）若，求角的大小． 【答案】（1）；（2）或． 【分析】 （1）由题设可得，再应用余弦定理求； （2）在△中应用正弦定理可得，即可求，进而求并验证是否成立. 【详解】 （1）在△中，由得：，， 由余弦定理得，即． （2）在△中，，，， 由正弦定理得：，即， ∴，解得或． 当时，求得；当时，求得，均满足，符合题意， ∴或． 4．在锐角中，角，，的对边分别为，，，若． （1）求的值； （2）是否存在角，（），满足?若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，，． 【分析】 （1）根据三角形的性质，由题干所给等式以及正弦定理解出即可. （2）假设存在这样的，满足题意，再诱导公式、同角三角函数关系与两角和的正切公式等算出和. 【详解】 （1）因为， 由正弦定理，得， 又因为，所以，故； （2）假设存在角，（），满足， 由及，可得， 因为，所以， 由，可得， 由，且，解得，， 从而，，故存在，满足题意． 5．在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若点在边上，且，，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用正弦定理，进行边化角，再通过三角恒等变换，切化弦，整理可求得，即可求出角； （2）作，垂足为，设，.由（1）可得，由勾股定理及两角和的正弦公式即可求得的值. 【详解】 （1）依题意，根据正弦定理得， 整理得， 即. 因为， 所以. 又，所以. （2）如图，作，垂足为， 则， 所以. 设. 因为，， 所以，，. 在中，， 在中，， 所以，， 所以 . 6．已知函数. （1）求函数的单调减区间； （2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，求的值. 【答案】(1)；(2) . 【分析】 (1)利用二倍角公式化简函数的解析式，再借助正弦函数的性质即可得解； (2)由(1)求出角C，再利用正弦定理边化角并结合和差角的正余公式化简计算即得. 【详解】 (1)依题意，， 由得， 所以函数的单调减区间是； (2)由(1)知：，即，在△ABC中，，则，解得， 由正弦定理及得， ，而， 则有，又，， 于是得， 所以. 7．的内角A，，的对边分别为，，.的面积为S，已知. （1）求角； （2）若，，外接圆的半径为，求. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根据题干条件及面积公式、余弦定理、正弦定理、两角和的正弦公式等知识，化简计算可得，根据角B的范围，即可得答案. （2）根据外接圆半径及，根据正弦定理，可得a，c的表达式，根据两角差的正弦公式、辅助角公式，化简计算，可得，进而可得的值，根据二倍角公式，即可得答案. 【详解】 （1）由可得 ， 因为，所以， 所以， 由余弦定理可得， 由正弦定理可得， 所以，即. 因为，且， 所以. 因为，所以. （2）因为外接圆的半径为，， 由正弦定理得，， 所以由，得， 整理可得. 又，，所以，故， 所以， 所以 ， 故. 8．的内角，，的对边分别为，，，已知. （Ⅰ）若，的面积为6，求； （Ⅱ）若，求. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理可得，进而可求，利用三角形的面积公式即可求得的值． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，结合已知由余弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求，利用二倍角公式可求，的值，进而根据两角差的正弦公式即可计算求解． 【详解】 解：（Ⅰ）， ， 由正弦定理可得， 又， ， 的面积为， 解得：． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得， 又， 由余弦定理可得， ， ，，， ． 9．的内角，，的对边分别是，，