专题12 立体几何解答题 -2022年新高考数学模拟题分项汇编(第五期)

专题12 立体几何解答题 1．（2021·山东泰安一中模拟预测）如图，在正四棱柱 中， 为 的中点. （1）当 时，证明：平面 平面 . （2）当 时，求 到平面 的距离. 【答案】 （1）证明见解析 （2） 【解析】 （1）证明：当 时， ， 所以 ，所以 . 又 平面 ，则 . 因为 ，所以 平面 ， 又 平面 ，所以平面 平面 . （2）以 为原点， 所在直线分别为 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则 . 所以 . 设平面 的法向量为 ，则 即 不妨令 ，则 ，得 . 故 到平面 的距离 . 2．（2021·福建永安市第三中学高中校高三期中）如图，在直四棱柱 中，底面 为菱形， 为 中点． （1）求证： ∥平面 ； （2）求证： 平面 ． 【答案】 （1）见解析； （2）见解析﹒ 【解析】 （1）设 与 交于点 ，接 ， 底面 是菱形， 为 中点， 又∵ 是 的中点， ， 面 ， 平面 ∥平面 ； （2） 在直四棱柱 中， 面 面 ， ∴ ． ∵底面 为菱形，∴ ， ∴ 面 面 ， ∴ 面 ﹒ 3．（2021·重庆巴蜀中学高三月考）如图，在三棱柱 中， 为边长为2的正三角形，顶点 在底面 的投影为 的中点 ，已知 与底面 内所有直线所成角中的最小值为 ， 为棱 上一点. （1）求三棱锥 的体积； （2）若 ，求二面角 的余弦值. 【答案】 （1） （2） 【解析】 （1）∵在三棱柱中， 为 在底面投影 ∴ 面 ， 面 又∵ 为 中点，∴ ， ∴ ， 因为 与底面 内所有直线所成角中的最小值为 ，且 面 ， ， ∴ . （2）以 为原点， ， ， 为 ， ， 轴，如图， 可得： ， ， ， ， ， 又∵ ，∴ ， 所以 ， ， 设 为面 法向量， 则 ，即 ，令 ，则 ， 设 为面 法向量， 则 ，即 ，令 ，则 ∴ . 所以二面角 的余弦值为 4．（2021·江苏连云港一中高三期中）如图，在三棱柱 ， ， ， ， . （1）证明： ⊥平面 ； （2）若 ，求二面角 的正弦值. 【答案】 （1）证明见解析 （2） 【解析】 （1）证明： ， ， ， ， ，而 ， 又 ， 平面 . （2）如图建系，其中 ， 则 ， ， ， ∴ ， ， . 设平面 与平面 的一个法向量分别为 ， ， ∴ ， 设二面角 平面角为 ，所以 得 . 5．（2021·江苏南京师大附中高三期中）在三棱柱 中，侧面 是正方形， ，AB⊥BC． （1）求证：平面 平面ABC； （2）线段 上是否存在点E，使得直线 与平面 所成角为 ？ 【答案】 （1）证明见解析 （2）存在，且E为B1C的中点 【解析】 （1）取AC中点O，连接 ，BO， ， ，故BO⊥ ， ， ，四边形 是正方形，故 ， ， ， ，故 ， ， 平面ABC， (平面 ，故平面 平面ABC。 （2）以 为 轴建立空间直角坐标系， 则A(0，－1，0)，B(1，0，0)， ，由， 得到 ， 设 ， ， ， 则平面 的一个法向量 ， ， 即(2λ－1)(λ＋1)＝0，所以λ＝ ，即E为B1C的中点. 6．（2021·江苏南通一中高三期中）如图，在四棱锥 中， ， ， ， . （1）证明： 平面 ； （2）若 ，求二面角 的正弦值. 【答案】 （1）证明见解析 （2） 【解析】（1）取 中点 ，由题可得四边形 为菱形，利用线面垂直的判定定理可证； （2）过 作 于点 ，过 作 于点 ，由线面垂直的判定定理可证 平面 ，则 即为所求二面角，再结合条件即求. （1）取 中点 ，连接 ，则 ， ∴四边形 为为平行四边形，又∵ ， ∴平行四边形 为菱形， ∴ ， ∴ ，∴ ，又∵ ， ， ∴ 平面 . （2）过 作 于点 ，又∵ 平面 ， ∴ ，∵ ， ∴ 平面 ，过 作 于点 ，连接 ， ∴ ， ∴ 平面 ，则 即为所求二面角， 由题知 为边长为1的等边三角形， ∴ ，在 中， ， ∴ ，即 ， ∴ ， ， ∴二面角 的正弦值为 . 7．（2021·广东广雅中学高三月考）如图，四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为 的等腰三角形，E为 的中点． （1）在侧棱 上找一点F，使 平面 ，并证明你的结论； （2）在（1）的条件下，求二面角 的余弦值． 【答案】 （1）证明见解析； （2） 【解析】 （1）F为VC的中点. 取CD的中点为H,连结BH,HF，则FH∥VD. ∵ABCD为正方形,E为AB的中点, ∴BE平行且等于HD, ∴四边形BEDH为平行四边形，∴BH∥DE. 又 面 ， 面 ，所以BH∥面 . 同理可证：FH∥面 . 又 ∴平面BHF∥平面VDE，又 面BHF ∴BF∥平面VDE （2）连接AC，BD交于点O，连接VO 由已知得 均为等腰