第02讲 直线的方程（核心考点讲与练）-2021-2022学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020选修第一册）

第2讲直线的方程(核心考点讲与练) 1.直线的点斜式方程：； 2.直线的斜截式方程：； 3.直线的两点式方程：； 4.直线的一般式方程：. 5.直线的点法向式方程：； 考点一：直线的点斜式方程 直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.可见，直线的倾斜角的取值范围是. 直线的斜率：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即 .所以，倾斜角是的直线没有斜率；倾斜角不是的直线都有斜率，其取值范围是. 直线的点斜式方程：直线过点，斜率为，则直线的点斜式方程为： 例1．（2022·上海·高三专题练习）过点且与原点距离最大的直线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图形可知，所求直线为过点且与原点和点连线垂直的直线，通过点斜式即可得结果. 【详解】结合图形可知，所求直线为过点且与原点和点连线垂直的直线，其斜率为，直线方程为，即. 故选：A. 例2．（2021·上海·高二专题练习）已知三角形的三个顶点是，则边上的高所在的直线方程为__________． 【答案】 【分析】利用垂直求出边上的高所在的直线的斜率，根据点斜式可求出边上的高所在的直线方程. 【详解】，所以边上的高所在的直线的斜率为， 所以边上的高所在的直线的方程为，即. 故答案为： 例3．（2020·上海市建平中学高二期中）与直线夹角为，且过点的直线的方程为________ 【答案】或 【分析】先利用已知直线倾斜角求直线的倾斜角、斜率，再利用点斜式写方程即可. 【详解】直线的斜率，即倾斜角是，直线与直线夹角为，故直线的倾斜角是0或，故斜率为或，故过点的直线的方程为或. 故答案为：或. 例4．（2020·上海·格致中学高二期中）过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于、两点，则（为坐标原点）面积取得最小值时直线方程为____________. 【答案】 【分析】设直线的方程为，求出点、的坐标，结合已知条件求出的取值范围，然后求出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求出面积的最小值，利用等号成立求出的值，即可得出所求直线的方程. 【详解】易知直线的斜率存在且不为零， 设直线的方程为，即. 在直线的方程中，令，可得；令，可得. 所以，点、. 由已知条件可得，解得. 的面积为. 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，直线的方程为，即. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将三角形的面积利用斜率有关的代数式表示，并结合基本不等式求出三角形面积的最小值，同时不要忽略了斜率的取值范围的求解. 例5．（2020·上海师大附中高二期中）已知直线l经过点，且和直线的夹角等于，则直线l的方程是_________． 【答案】或 【分析】分析可得已知直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为或，分类讨论并利用点斜式方程求解即可. 【详解】由已知可得直线的斜率，所以倾斜角为， 因为直线与的夹角为，所以直线的倾斜角为或， 当倾斜角为时,直线为，即为； 当倾斜角为时,直线为， 故答案为：或. 【点睛】本题考查直线与直线的夹角，关键点是求出直线的倾斜角得到l的倾斜角，考查求直线方程，考查分类讨论思想. 例6．（2020·上海市金山中学高二期中）矩形的两条对角线相交于点边所在直线的方程为，点在边所在的直线上． （1）求边所在直线的方程； （2）若直线平分矩形的面积，求出原点与距离的最小值． 【答案】（1）； （2）. 【分析】（1）根据与垂直，求得直线的斜率为，结合点斜式方程，即可求解. （2）由直线平分矩形的面积，得到，结合两点间的距离公式和二次函数的性质，即求解. 【详解】（1）因为所在的直线方程为，且与垂直， 所以直线的斜率为， 又因为直线过点，所以的直线方程为， 即直线边所在直线的方程为. （2）因为直线平分矩形的面积， 所以直线过点，可得， 又由原点与点的距离为， 由二次函数的图象与性质，可得当时，原点与点的距离最小，最小值为. 例7．（2022·上海·高三专题练习）如图，在道路边安装路灯，路面OD宽12m，灯柱OB高14m，灯杆AB与地面所成角为30°．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线AC与灯杆AB垂直，轴线AC，灯杆AB都在灯柱OB和路面宽线OD确定的平面内． （1）当灯杆AB长度为多少时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线？ （2）如果灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线，此时有一高2.5m的警示牌直立在C处，求警示牌在该路灯灯光下的影子长度． 【答案】（1）当灯杆AB长度为2m时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线；（2）m. 【分析】（1）分别以图中OD、OB所在直线为x、y轴，建立平面直角坐标系，求出直线和方程后可得点坐标，从而得； （2）设警示牌