2.2 基本不等式（课件）-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

2.2　基本不等式 数学 核心知识目标 核心素养目标 1.能描述并证明基本不等式,能对基本不等式进行几何解释. 2.能利用基本不等式的性质证明其他不等式. 3.能利用基本不等式求简单的最大值或最小值问题及条件最值问题. 4.掌握基本不等式在实际问题中的应用. 5.掌握利用基本不等式求参数取值范围的方法. 1.通过基本不等式及几何解释的学习,达成数学抽象、逻辑推理及直观想象的核心素养. 2.通过利用基本不等式证明不等式,发展逻辑推理与数学运算的核心素养. 3.通过基本不等式的实际应用,提高数学建模与数学运算的核心素养. 4.通过利用基本不等式求最大值或最小值、条件最值和参数的取值范围,发展逻辑推理与数学运算素养. 数学 第1课时　基本不等式 数学 知识探究·素养启迪 课堂探究·素养培育 数学 知识探究·素养启迪 情境导入 如图,是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理作的弦图进行设计的,颜色的明暗使其看起来像一个风车. 数学 探究:依据这个会标,你能找到一些相等或不等关系吗? 提示:如图,由图可知:①a2+b2=(a-b)2+2ab;②a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,取“=”. 数学 知识探究 1.基本不等式 [问题1-2] 你得到的不等式中的a>0,b>0是否可以去掉?举例说明. [问题1-3] 你得到的不等式中的“=”何时成立? 数学 梳理1　基本不等式 ≤ a=b 算术平均数 几何平均数 不小于 数学 ≥ 重合 a=b 数学 2.基本不等式与最值 [问题2-1] 在基本不等式中,如果a+b=S(定值),那么你得到一个什么结论? [问题2-2] 在基本不等式中,如果ab=P(定值),那么你又得到一个什么结论? 数学 大 小 梳理2　基本不等式与最值 已知x,y都是正数, (1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最 值 .(简记:和定积最大) (2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最 值 .(简记:积定和最小) 数学 小试身手 BD 数学 数学 C 解析:由题意知a=1.故选C. 数学 3.已知ab=100,且a>0,b>0,则a+b的最小值为　　　　.  答案:20 数学 4.已知x>0,y>0,且2x+3y=6,则xy的最大值为　　　　.  数学 课堂探究·素养培育 探究点一 利用基本不等式求最值 探究角度1　直接应用基本不等式求最值 [例1] 求下列式子的最值. 数学 数学 数学 数学 答案:2 数学 答案:4 即时训练1-2:若x>0,y>0且xy=1,则x+4y的最小值是　　　　.  数学 数学 即时训练1-4:已知-1<x<3,则y=(1+x)(3-x)的最大值是　　　　.  答案:4 数学 方法总结 (2)二定:化不等式的一边为定值. (3)三相等:必须存在“=”号的条件. 以上三点缺一不可. 数学 探究角度2　变形后求最值 数学 数学 数学 数学 方法总结 (1)使用基本不等式求一个式子的最值时,若所给式子不满足直接应用基本不等式的条件,可以利用“拼凑项”的方法变形后应用基本不等式求解. (2)拼凑法求解最值,其实质就是先通过代数式变形,拼凑出和或积为常数的两项,然后利用基本不等式求解最值.拼凑后要保证各量满足基本不等式“一正,二定,三相等”的条件,尤其是要注意验证等号成立的条件. 数学 探究点二 应用基本不等式证明不等式 探究角度1　直接应用基本不等式证明 数学 数学 方法总结 利用基本不等式证明不等式的策略 从待证不等式及问题的已知条件出发,借助不等式的性质及有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”. 一般地,若所证不等式一端出现“和式”,而另一端出现“积式”,这便是应用基本不等式的“题眼”,可尝试用基本不等式证明. 数学 易错警示 利用基本不等式证明不等式的注意点 (1)多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立; (2)累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用; (3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型,再使用. 数学 探究角度2　利用“1”的代换证明不等式 数学 数学 数学 方法总结 数学 备用例题 数学 数学 数学 数学 [例3] 已知a,b,c为正数,且a+b+c=1, 求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc. 数学 课堂达标 C 数学 答案:5 数学 答案:b=3a 数学 数学 答案:否　x取值不确定(或x不一定为正数) 数学 点击进入 课时训练·分层突破 数学 [问题1-1] 在a>0,b>0的条件下,把a2+b2≥2ab中a,b