1.5 全称量词与存在量词（课时作业）-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

1.5　全称量词与存在量词 1.5.1　全称量词与存在量词 选题明细表 知识点、方法 题号 全称量词命题及其真假 2,5 存在量词命题及其真假 1,3,8,9 全称量词、存在量词的综合应用 4,6,7,10,11 基础巩固 1.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　B　) (A)直角三角形的内角有一个是90° (B)至少有一个实数x,使x2≤0 (C)两个无理数的和必是无理数 (D)存在一个负数x,使>2 解析:A中“直角三角形的内角有一个是90°”是全称量词命题;B中x=0时,x2=0,所以B既是存在量词命题又是真命题;C中因为+ (-)=0,所以C是假命题;D中对于任意一个负数x,都有<0,所以D是假命题. 2.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　C　) (A)∀x∈R,2x+1>0 (B)若2x为偶数,则x∈N (C)所有菱形的四条边都相等 (D)π是无理数 解析:对A,是全称量词命题,但不是真命题,故A不正确;对B,是全称量词命题,但不是真命题.如2x=-2是偶数,但x=-1∉N,故B不正确;对C,是全称量词命题,也是真命题,故C正确;对D,是真命题,但不是全称量词命题,故D不正确,故选C. 3.(多选题)下列对命题“∃x∈R,x2>5”的表述方法正确的是(　ABD　) (A)有一个x∈R,使得x2>5成立 (B)对有些x∈R,使得x2>5成立 (C)任选一个x∈R,都有x2>5成立 (D)至少有一个x∈R,使得x2>5成立 解析:选项C是全称量词命题. 4.下列命题是假命题的是(　C　) (A)∀x∈{x|-7<x<3},x∈{x|-7≤x<3} (B)∃x∈{x|x≤2},x2=1 (C)∀x∈{x|x≥0},=+1 (D)∃a,b∈R,(a-b)2=a2-b2 解析:A,B正确,对C,当x=1时,=,而+1=2,D中当b=0, a∈R时,(a-b)2=a2-b2均成立,选C. 5.平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2,是一个　　　　　(填“全称量词命题”或“存在量词命题”),用量词形式可写为　　　　　　　.  解析:因为这个公式对所有实数a,b都成立,因此是一个全称量词命题,可改写为“∀a,b∈R,(a+b)(a-b)=a2-b2”. 答案:全称量词命题　∀a,b∈R,(a+b)(a-b)=a2-b2 6.(2020·天津河东区高二上期中)下列命题中为真命题的是(　D　) (A)∃x∈R,x2+2x+2<0 (B)∃x∈R,x2+x=-1 (C)∀x∈R,x2-x+>0 (D)∀x∈R,-x2-1<0 解析:对A,Δ=4-8=-4<0,错误;对B,x2+x+1=0,Δ=1-4=-3<0,错误;对C,x=时x2-x+=0,错误;∀x∈R,x2+1>0,-x2-1<0,正确.故选D. 能力提升 7.(多选题)已知∀x∈{x|0≤x≤3},m>x,∃x∈{x|0≤x≤3},n>x均为真命题,那么关于m,n的取值范围下列说法正确的是(　AC　) (A)n∈{n|n>0} (B)m∈{m|m>0} (C)m∈{m|m>3} (D)n∈{n|n>3} 解析:由∀x∈{x|0≤x≤3},m>x,可得m>3;由∃x∈{x|0≤x≤3},n>x,可得n>0,选AC. 8.已知命题“存在x∈{x|-1≤x≤1},-x2+3x+a>0”为真命题,则实数a的取值范围是(　D　) (A){a|a>-} (B){a|a>4} (C){a|-2<a<4} (D){a|a>-2} 解析:命题“存在-1≤x≤1,-x2+3x+a>0”为真命题,等价于a>x2-3x在{x|-1≤x≤1}上有解,令y=x2-3x(-1≤x≤1),则等价于a>ymin=-2,所以a>-2.故选D. 9.已知命题p:“∃x∈R,(a-5)x+1=0”是真命题,则实数a的取值集合是　　　　　　.  解析:因为“∃x∈R,(a-5)x+1=0”是真命题,所以关于x的方程(a-5)x+1=0有实数解, 所以a-5≠0,即a≠5,所以实数a的取值集合是{a∈R|a≠5}. 答案:{a∈R|a≠5} 10.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假. (1)三角形的内角和为180°; (2)每个二次函数的图象都开口向下; (3)存在一个四边形不是平行四边形; (4)p:∀x∈R,x2+2>0; (5)p:∃x∈R,x2+1=0. 解:(1)是全称量词命题且为真命题. (2)是全称量词命题且为假命题. (3)是存在量词命题且为真命题. (4)是全称量词命题且为真命题. (5)是存在量词命题且为假命题. 应用创新 11.已知命题p:∀x∈R,x2-2x+a≥0,命题q:∃x∈R,x2+x+2a-1=0,若p为真命题,q为假