2.4 函数的奇偶性与简单的幂函数（课件）-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

§4　函数的奇偶性与简单的幂函数 4.1　函数的奇偶性 4.1.1　函数奇偶性的定义及判断 数学 核心知识目标 核心素养目标 1.理解函数奇偶性的定义. 2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法. 3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题. 1.借助函数奇偶性的特征的学习,培养直观想象素养. 2.通过函数奇偶性的判断和证明,培养逻辑推理素养. 数学 知识探究·素养培育 探究点一 函数的奇偶性 如何用数量关系来刻画函数图象的这种对称性呢? 提示:若函数f(x)满足f(-x)=f(x),则f(x)的图象关于y轴对称; 若函数f(x)满足f(-x)=-f(x),则f(x)的图象关于原点对称. 数学 偶函数 奇函数 条件 一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,如果对任意的x∈A,有-x∈A . . 结论 函数f(x)是偶函数 函数f(x)是奇函数 图象性质 关于 对称 关于 对称 知识点:函数的奇偶性 f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x) y轴 原点 [思考] 奇(偶)函数的定义域具有什么特征?它是函数具有奇偶性的什么条件? 提示:定义域关于原点对称,必要不充分条件. 数学 解:(1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称. 又f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x),因此函数f(x)是奇函数. 数学 解:(3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称, 所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (4)函数定义域是R,且f(-x)=|-x+3|+|-x-3|=|x-3|+|x+3|=f(x),因此函数f(x)是偶函数. 数学 数学 数学 方法总结 根据函数解析式判断函数y=f(x)奇偶性的步骤 (1)求出函数的定义域; (2)判断定义域是否关于原点对称,若否,则函数不具有奇偶性,结束判断;若是,则进行下一步; (3)∀x∈I(I为定义域),计算f(-x),若f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数,若f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数,若f(-x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x),则f(x)既不是奇函数,又不是偶函数. 数学 易错警示 (1)若函数解析式不是最简形式,需先化简函数解析式; (2)若函数f(x)=0或可化为f(x)=0,且定义域关于原点对称,则函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数. 数学 探究点二 函数奇偶性的图象特征 [问题2] 如何作出函数y=f(|x|)的图象? 提示:因为函数y=f(|x|)是偶函数,所以我们只需先作出y轴右侧的部分,然后把右侧的图象对称到y轴的左侧即可. 数学 数学 数学 变式训练2-1:已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示. 数学 (1)画出f(x)在区间[-5,0]上的图象; (2)写出使f(x)<0的x的取值集合. 解:(1)因为函数f(x)是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于原点对称,由y=f(x)在区间[0,5]上的图象,可知它在区间[-5,0]上的图象,如图所示. (2)由图象知,使f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5). 数学 方法总结 涉及奇偶函数图象问题,常利用奇函数图象关于原点对称、偶函数图象关于y轴对称解题. 数学 探究点三 利用函数的奇偶性求解析式中的参数 [问题3] (1)对于定义域内的任意x,若f(-x)+f(x)=0,则函数f(x)是否具有奇偶性?若f(-x)-f(x)=0呢? (2)若f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)的值可求吗?若f(x)为偶函 数呢? 提示:(1)由f(-x)+f(x)=0得f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数. 由f(-x)-f(x)=0得f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数. (2)若f(x)为奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0;若f(x)为偶函数,无法求出f(0)的值. 数学 数学 数学 数学 变式训练3-1:(2020·江苏南京外国语学校高一期中)若函数f(x)=x2+ (a+5)x+b是偶函数,定义域为[a,2b],则a+b=　　　　.  数学 方法总结 (1)定义域含参数:奇(偶)函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数; (2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是关于x的恒等式求解; (3)若函数y=f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0; (4)若函数y=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则b=0. 数学 备用例题 [例1] (2020·长安一中高一检测)设函数f(x),