2.3 函数的单调性和最值（课件）-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

§3　函数的单调性和最值 3.1　函数的单调性 数学 核心知识目标 核心素养目标 1.从图象直观、定性描述和定量分析三个方面,认识函数的单调性,理解函数单调性的定义. 2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性,会求一些具体函数的单调区间. 1.通过单调区间、单调性等概念的学习,培养抽象概括素养. 2.通过用定义证明函数的单调性,培养逻辑推理素养. 数学 知识探究·素养培育 探究点一 [问题1] 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯,对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试,得到了以下一些数据: 增函数与减函数 时间 间隔t 刚记忆 完毕 20分 钟后 60分 钟后 8～9 小时后 1天后 2天后 6天后 一个 月后 记忆量y (百分比) 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1 数学 以上数据表明,记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图. 数学 (1)当时间间隔t逐渐增大,你能看出对应的函数值y有什么变化趋势?通过这个试验,你打算以后如何对待刚学过的知识? (2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的,对此,我们如何用数学观点进行解释? 提示:(1)随着时间间隔t逐渐增大,函数值y逐渐变小,这个试验告诉我们,在学习中,我们应及时复习刚学习过的知识. (2)“艾宾浩斯遗忘曲线”是减函数曲线. 数学 知识点1:增函数与减函数的定义 设函数y=f(x)的定义域是D: 如果对于任意的x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数y=f(x)是 函数.特别地,当I是定义域D上的一个区间时,也称函数y=f(x)在区间I上 . 如果对于任意的x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就称函数y=f(x)是 函数.特别地,当I是定义域D上的一个区间时,也称函数y=f(x)在区间I上 . 增 单调递增 减 单调递减 数学 数学 (2)当x≥1时,f(x)单调递增, 当x<1时,f(x)单调递减, 所以f(x)的定义域为(-∞,1),[1,+∞). 并且函数f(x)在(-∞,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增. [例1] 求下列函数的定义域,并指出该函数在其定义域(或其定义域上的不同区间)上单调递增还是单调递减. 数学 (3)f(x)=-x2+2|x|+3. 数学 变式训练1-1:讨论函数f(x)=-(x-3)|x|的单调性. 数学 方法总结 判断函数单调性的方法 (1)利用基本初等函数的单调性,如本例(1)和(2),其中分段函数的单调性要根据函数的自变量的取值范围分段求解; (2)利用函数的图象. 数学 探究点二 函数的单调性 知识点2:函数的单调性 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就称函数y=f(x)在区间I上具有单调性.此时,区间I为函数y=f(x)的 . 单调区间 数学 [思考2] 已知函数f(x)与g(x)在公共区间上具有单调性, (1)若函数f(x)与g(x)均为增函数,那么F(x)=f(x)+g(x)的单调性如何? (2)若函数f(x)为增函数,g(x)为减函数,那么F(x)=f(x)-g(x)的单调性如何? (3)若函数f(x)为减函数,g(x)为减函数,那么F(x)=f(x)+g(x)的单调性如何? (4)若函数f(x)为减函数,g(x)为增函数,那么F(x)=f(x)-g(x)的单调性如何? 提示:(1)F(x)=f(x)+g(x)单调递增; (2)F(x)=f(x)-g(x)单调递增; (3)F(x)=f(x)+g(x)单调递减; (4)F(x)=f(x)-g(x)单调递减. 数学 数学 (2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并加以证明. 数学 数学 (2)试判断函数在(-1,+∞)上的单调性,并给予证明. 数学 方法总结 证明函数f(x)在区间D上的单调性的步骤 (1)在区间D上任取两个自变量的值x1,x2,并规定 x1<x2; (2)计算f(x1)-f(x2),将f(x1)-f(x2)分解为若干个可以直接确定符号的式子; (3)确定f(x1)-f(x2)的符号.若f(x1)-f(x2)<0,则函数f(x)在区间D上单调递增;若f(x1)-f(x2)>0,则函数f(x)在区间D上单调递减. 数学 易错警示 证明单调性的步骤中,作差f(x1)-f(x2)变形时,应注意若函数解析式是多项式,常将差式变形后提取公因式.若f(x)解析式含分式,需将分式通分后变形.若f(x)的解析式含根式,常将“差式”进行有理化变形. 数学 探究点三 单调性的应用