1.3 不等式（课件）-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

§3　不等式 3.1　不等式的性质 数学 核心知识目标 核心素养目标 1.理解不等式的含义,会用不等式(组)来描述不等关系. 2.掌握作差法比较数或式大小的理论依据和一般步骤. 3.掌握等式的性质和不等式的性质以及性质的简单应用. 1.通过实数大小的比较及不等式性质的证明,培养逻辑推理素养. 2.借助不等式性质的应用,提升数学运算素养. 数学 知识探究·素养培育 探究点一 [问题1] 生活中的不等关系处处存在,我们经常看到下列标志: 其含义分别为 ①最低限速:限制行驶速度v不得低于50 km/ h; ②限制质量:装载总质量m不得超过10 t; ③限制高度:装载高度h不得超过3.5 m; ④限制宽度:装载宽度a不得超过3 m. 你能用数学式子表示上述关系吗? 不等关系 提示:①v≥50 km/h;②m≤10 t;③h≤3.5 m;④a≤3 m. 数学 [例1] 某汽车货运公司由于发展的需要需购进一批汽车,计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元,90万元的A型汽车和B型汽车.根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式. 数学 变式训练1-1:学生小李家中经济发生困难,为帮助小李解决开学费用问题,小李所在班级学生(小李除外)决定承担这笔费用.若每人承担12元,则多余84元;若每人承担10元,则不够;若每人承担11元,又多出40元以上,若该班除小李外共有x人,这笔开学费用共y元,用不等式(组)表示上述不等关系. 数学 方法总结 用不等式(组)表示不等关系的步骤: (1)审清题意,明确表示不等关系的关键词语:至多、至少、大于等; (2)适当地设未知数表示变量; (3)用不等号表示关键词语,并连接变量得不等式. 数学 易错警示 (1)用不等式(组)表示不等关系应正确找出题中的显性不等关系和隐性不等关系; (2)当问题中同时满足几个不等关系,则应用不等式组来表示它们之间的不等关系,另外若问题有几个变量,选用几个字母分别表示这些变量即可. 数学 探究点二 [问题2] 在数轴上右边的点对应的数大于左边的点对应的数,那么对于两个实数a,b,如何用代数的方法来比较大小呢? 两个实数的大小比较 提示:可以采用作差的方法. 知识点1:两个实数的大小关系的基本事实 对于任意的实数a,b,有以下基本事实: a>b⇔ ; a=b⇔ ; a<b⇔ . a-b>0 a-b=0 a-b<0 数学 数学 变式训练2-1:比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小. 数学 方法总结 作差比较法比较两式大小的步骤 (1)作差:对要比较大小的两个式子作差; (2)变形:对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形; (3)判断符号:对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号; (4)作出结论. 数学 易错警示 使用作差比较法比较大小时,若待比较的两式是无理式,这时可以先将待比较的式子变形为有理式后再用作差法比较大小,但是要注意变形的等价性.　 数学 探究点三 [问题3] 在日常生活中,糖水中加些糖后就会变得更甜,也可以用不等式来表示这一现象. 你能利用这一事实表示出糖水浓度的不等式吗? 不等式的性质 数学 知识点2:不等式的基本性质 a>c > > < 数学 > > 数学 数学 数学 数学 数学 数学 方法总结 利用不等式性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形,变形要等价.要善于寻找欲证不等式的已知条件,利用相应的不等式性质证明.利用性质时要注意性质适用的前提条件. 数学 拓展探索素养培优 根据不等式性质求范围 [典例] (2020·合肥一中高一期中)实数a,b满足-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4. (1)求实数a,b的取值范围; (2)求3a-2b的取值范围. 试题情境:课程学习情境. 必备知识:不等式的性质. 关键能力:逻辑思维能力,运算求解能力. 学科素养:逻辑推理,数学运算. 数学 数学 数学 [素养演练] (2020·浙江杭州高一期末)已知-1<x+y<4,2<x-y<4,则3x+2y的取值范围是　　　　.  数学 方法总结 (2)不等式两边同乘一个正数,不等号方向不变,同乘一个负数不等号变为相反的方向,因此在不等式两边同乘一个数时,要明确所乘数的正负. 数学 备用例题 数学 [例2] 已知a>b>0,c<d<0,|b|>|c|,求证: (1)b+c>0; 证明:(1)因为|b|>|c|且b>0,c<0,所以b>-c,即b+c>0. 数学 数学 数学 点击进入 课时训练·分层突破 数学 解:设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆,y辆, 则即 解:由于该班除小李外共有x人,这笔开学费用共y元, 则 [例2] 已知-