2.4 函数的奇偶性与简单的幂函数（课时作业）-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

4.2　简单幂函数的图象和性质 基础巩固 知识点一:幂函数 1.给出下列函数:①y=;②y=3x-2;③y=x4+x2;④y=;⑤y=(x-1)2;⑥y=0.3x,其中是幂函数的有(　B　) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 解析:由①y==x-3和④y==是幂函数.②③⑤⑥不符合幂函数的定义.故选B. 2.(2021·江苏镇江高一期末)已知幂函数y=f(x)的图象经过点(4,2),则f(2)的值为　　　　.  解析:设幂函数的解析式为f(x)=xα(α∈R), 可得4α=2,解得α=,即f(x)=, 所以f(2)=. 答案: 知识点二:幂函数的图象 3.函数f(x)=的图象大致是(　A　) 解析:因为-<0,所以函数f(x)=在(-∞,0)和(0,+∞)上为减函数,排除B,C. 又f(x)为奇函数,可知A正确.故选A. 4.在同一平面直角坐标系内,函数y=xa(a≠0)和y=ax+的图象可能是(　B　) 解析:因为当a>0时同时为增函数,a<0时在相同定义域上分别为减函数.故选B. 知识点三:幂函数的性质 5.已知a=(),b=(),c=(),则(　C　) (A)a>b>c (B)c>a>b (C)c>b>a (D)b>c>a 解析:由y=与y=图象知,当x=时,()<(),即a<b. 由于y=在[0,+∞)上是增函数,所以b<c.故c>b>a.故选C. 6.(2020·浙江温州高一期中)幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减,则m=　　　　,f()=　　　　.  解析:因为函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减, 所以m2-5m+4<0⇒1<m<4. 因为m∈Z⇒m=2或3. 当m=2或3时,都有m2-5m+4=-2, 所以f(x)=x-2,所以f()=4. 答案:2或3　4 能力提升 7.如图是幂函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则(　B　) (A)-1<n<0,0<m<1 (B)n<-1,0<m<1 (C)-1<n<0,m>1 (D)n<-1,m>1 解析:由题图知,y=xm在[0,+∞)上是增函数,y=xn在(0,+∞)上为减函数,所以m>0,n<0.又当x>1时,y=xm的图象在直线y=x的下方,y=xn的图象在y=x-1图象的下方,所以m<1,n<-1,从而0<m<1,n<-1.故选B. 8.(2020·湖南长沙高一期末)幂函数的图象经过点(,2),若0<a<b<1,则下列各式正确的是(　B　) (A)f(a)<f(b)<f()<f() (B)f()<f()<f(b)<f(a) (C)f(a)<f(b)<f()<f() (D)f()<f(a)<f()<f(b) 解析:设f(x)=xα,则f()=()α=2,α=-1, 即f(x)=x-1=, 函数f(x)在(0,+∞)上是减函数. 因为0<a<b<1,所以0<a<b<<, 所以f(a)>f(b)>f()>f().故选B. 9.(2021·安徽合肥高一期末)已知函数f(x)=(m2-m-5)是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,若a,b∈R, 且a+b>0,则f(a)+f(b)的值(　A　) (A)恒大于0 (B)恒小于0 (C)等于0 (D)无法判断 解析:因为函数f(x)=(m2-m-5)是幂函数,且在(0,+∞)上是增函数,所以 解得m=-2(舍去)或m=3. 所以f(x)=x3.又a,b∈R,且a+b>0, 则a>-b,由于函数f(x)=x3为增函数且为奇函数, 所以f(a)>f(-b)=-f(b), 所以f(a)+f(b)>0.故选A. 10.(多选题)(2021·福建宁德高一期末)已知函数f(x)=xα的图象经过点(9,3),则下列结论正确的有(　BCD　) (A)f(x)为偶函数 (B)f(x)为增函数 (C)若x>1,则f(x)>1 (D)若x1>x2>0,则f()> 解析:由题意得3=9α,则α=, 所以f(x)=, f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数,所以B正确. f(x)的定义域为[0,+∞), 所以f(x)不具有奇偶性,所以A不正确. 当x>1时,>1,即f(x)>1,所以C正确. 若x1>x2>0, 则()2-f2()=()2-()2= -= =-<0. 即<f()成立,所以D正确.故选BCD. 11.若幂函数y=(m,n∈N+且m,n互质)的图象如图所示,则下列说法中正确的是　　 　　.(填序号)  ①m,n是奇数,且<1;②m是偶数,n是奇数,且>1;③m是偶数,n是奇数,且<1;④m,n是偶数,且>1. 解析:由题图知,函数y=为偶函数,所以m为偶数,n为奇数,又函数图象在第一象限在直线y=x的下方,所以<1. 答案:③ 1