第7章 概率初步（续）（压轴题专练）-2021-2022学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020选修第二册）

第7章概率初步（续）压轴题专练 一、单选题 1．（2021·全国·高二单元测试）我们知道，在次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件发生的概率为，则事件发生的次数服从二项分布，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件首次发生时试验进行的次数，显然，我们称服从“几何分布”，经计算得．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件和都发生后停止，此时所进行的试验次数记为，则，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先得出若，则， 然后，设．利用错位相减法即可得出，然后可得答案. 【详解】因为，． ∴若，则． 那么 ． 设． ． ∴． ∴时，． ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查的是随机变量的期望和利用错位相减法求数列的和，属于中档题. 2．（2020·浙江·三模）随机变量的分布列是（ ） 2 4 6 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由均值的定义求出均值, 由方差公式计算出方差 做差比较可得. 【详解】， 故选：A 【点睛】1．均值与方差的一般计算步骤 (1)理解的意义，写出的所有可能取的值； (2)求取各个值的概率，写出分布列； (3)根据分布列，由均值的定义求出均值，进一步由公式求出 3．（2020·新疆·新源县第二中学高二期末（理））抛掷三枚质地均匀的硬币一次，在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知，抛掷三枚硬币，则基本事件共有8个，其中有一枚正面朝上的基本事件有7个，分别求出“有一枚正面朝上”和“三枚都正面朝上”的概率，最后根据条件概率的计算公式，即可求出结果. 【详解】解：根据题意，可知抛掷三枚硬币，则基本事件共有8个， 其中有一枚正面朝上的基本事件有7个， 记事件为“有一枚正面朝上”，则， 记事件为“另外两枚也正面朝上”， 则为“三枚都正面朝上”，故， 故. 即在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是. 故选：C. 【点睛】本题考查条件概率的计算公式的应用，考查分析和计算能力． 4．（2022·全国·高三专题练习）设，随机变量X的分布列是： X -1 1 2 P 则当最大时的a的值是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得，，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】根据随机变量的分布列和数学期望与方差的计算公式， 可得， 又由 可得， 因为，所以当最大时的的值为. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差的计算及应用，其中解答中熟记离散型随机变量的分布列的期望与方差的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算求解能力，属于中档试题. 5．（2022·全国·高三专题练习）一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用小虫等概率地向前或向后爬行，可知随机变量，且向前或向后爬行1个单位的概率均为，结合二项分布公式求概率，根据、即可判断各选项的正误； 【详解】由题意知：设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为， ∴爬行次后小虫一共向前爬行次，则向后爬行次，有；故，则： 1、，，故A、B正确； 2、，，即，有，故C错误； 3、，即，有，故D正确； 故选：C 【点睛】本题考查了利用二项分布公式求概率，及求随机变量的期望、方差，进而判断选项正误； 6．（2022·江苏·高三专题练习）已知集合，，从集合中任取3个不同的元素，其中最小的元素用表示，从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素用表示，记，则随机变量的期望为（ ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题意，求得随机变量的取值为，分别求得相应的概率，结合期望的计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，从集合中任取3个不同的元素，则有，其中最小的元素取值分别为， 从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素的取值分别为， 因为，可得随机变量的取值为， 则， ， 所以随机变量的期望为：. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的计算，其中解答中正确理解题意，求得随机变量的取值，求得相应的概率是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题. 7．（2021·重庆实验外国语学校高二阶段练习）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a、b、c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a－b|的取值”，则ξ的数学期望E(ξ)为(