专题10 解直角三角形及应用-2021-2022学年九年级数学上学期期末考试好题汇编(人教版)

专题10 解直角三角形及应用 1．（2021·河北·石家庄外国语学校九年级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝，则BC等于（ ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】 根据余弦函数的定义、勾股定理，即可直接求解． 【详解】 解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝， ∴，即， ， ∴=1, 故选：B． 【点睛】 本题考查了解直角三角形，解题的基础是掌握余弦函数的定义和勾股定理． 2．（2021·山东黄岛·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是（　　） A．sinA＝ B．tanA＝ C．cosB＝ D．tanB＝ 【答案】D 【分析】 根据三角函数的定义求解． 【详解】 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2． ∴AC＝， ∴sinA＝，tanA＝，cosB＝，tanB＝． 故选：D． 【点睛】 本题考查了解直角三角形，解答此题关键是正确理解和运用锐角三角函数的定义． 3．（2021·湖南攸县·九年级期末）在△ABC中，BC＝＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（ ） A． B．＋1 C． D．＋1 【答案】C 【分析】 过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中和Rt△ACD中，分别用AD表示出BD、CD，根据BC的长先求出AD，再求三角形的面积． 【详解】 如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D． 在Rt△ABD中，∠B＝45°， ∴BD＝AD． 在Rt△ACD中，∠C＝30°， ∴CD＝AD． ∵BD＋CD＝BC， ∴AD＋AD＝1＋． 即AD＝1． ∴S△ABC＝×BC×AD ＝（1＋）． 故选：C． 【点睛】 本题考查了一般三角形面积计算问题，关键是通过作辅助线转化为直角三角形来解决. 4．（2019·内蒙古土默特左旗·九年级期末）如图 在中，为BC上的一点，，则CD的长为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】 根据三角形内角与外角的性质可得∠B=30°，再根据三角函数定义可得AC的长，然后再利用正切定义可得CD的长． 【详解】 解：∵AD=BD，∠ADC=60°， ∴∠B=30°， ∴AC=AB•sin30°=， ∵∠C=90°， ∴CD=AC÷tan60°=1， 故选：C． 【点睛】 此题主要考查了勾股定理，以及三角函数，关键是掌握正切和正弦的定义． 5．（2019·辽宁沙河口·九年级期末）已知正六边形的边心距是，则正六边形的边长是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 如图所示：正六边形ABCDEF中，OM为边心距，OM=，连接OA、OB，然后求出正六边形的中心角，证出△OAB为等边三角形，然后利用等边三角形的性质和锐角三角函数即可求出结论． 【详解】 解：如图所示：正六边形ABCDEF中，OM为边心距，OM=，连接OA、OB 正六边形的中心角∠AOB=360°÷6=60° ∴△OAB为等边三角形 ∴∠AOM=∠AOB=30°，OA=AB 在Rt△OAM中，OA= 即正六边形的边长是． 故选A． 【点睛】 此题考查的是根据正六边形的边心距求边长，掌握中心角的定义、等边三角形的判定及性质和锐角三角函数是解决此题的关键． 6．（2021·全国·九年级期末）已知水库的拦水坝斜坡的坡度为，则这个拦水坝的坡角为______° 【答案】30° 【分析】 根据坡度是坡角的正切值求解即可； 【详解】 设坡角为， ∵水库的拦水坝斜坡的坡度为， ∴， ∴； 故答案是． 【点睛】 本题主要考查了坡度的知识点，结合特殊角的三角函数值计算是解题的关键． 7．（2021·山东奎文·九年级期末）如图，为了测量河宽，先在A处测得对岸点在其北偏东方向，然后沿河岸直行100米到点，在点测得对岸点在其北偏西方向，则河宽是__________米．（结果保留根号） 【答案】 【分析】 设，由，，，进而得到△BCD为等腰直角三角形，△ACD为30°，60°，90°三角形，由三边之比分别为和结合AB=100即可求出AD和BD，进而求解． 【详解】 解：设米， 由题意得：，，， ∴， ∴米，米， ∵米， ∴， 解得：， 即河宽是米， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了解直角三角形、方位角等相关知识点，属于基础题，计算过程中细心即可． 8．（2021·山东南区·九年级期末）在△ABC中，AB＝5，BC＝8，AD是BC边上的高，AD＝4，则tanC＝___． 【答案】或 【分析】 根据勾股定理先求出BD的长，本题有两种情况，若高AD在△ABC内部，CD＝BC﹣BD，若高AD在△ABC外部，CD＝BC+BD，再根据三角函数的知识求出tanC的值． 【详解】 解：