1.1.2 空间向量的数量积运算（课时训练）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

1.1.2　空间向量的数量积运算 选题明细表 知识点、方法 题号 数量积概念及运算 1,5,6,7,10 求异面直线所成的角 2,8,9,11 求距离 3,12 判断或证明垂直 4 综合 13 基础巩固 1.(2021·山东省实验中学高二期中)已知正四面体ABCD的棱长为a,点E,F分别是BC,AD的中点,则·的值为(　C　) (A)a2 (B)a2 (C)a2 (D)a2 解析:由题意得·=(+)·=·(·+·) =×2×a×a×cos 60°=a2.故选C. 2.如图,正方体ABCD -A1B1C1D1中,异面直线AC和BC1所成角的大小为(　A　) (A) (B) (C) (D)或 解析:设正方体的棱长为1,因为=-, 所以·=·(-)=-·=-1, 所以cos<,>===-.所以异面直线AC和BC1所成角的大小为. 3.(2020·吉林第一中学阶段测试)平行六面体ABCD -A1B1C1D1中,向量,,两两的夹角均为60°,且||=1,||=2,||=3,则||等于(　A　) (A)5 (B)6 (C)4 (D)8 解析:因为||2=(++)2 =||2+||2+||2+2·+2·+2· =1+4+9+2+3+6=25,所以||=5,故选A. 4.若向量m垂直于向量a和b,向量n=λa+μb(λ,μ∈R且λ, μ≠0),则(　B　) (A)m∥n (B)m⊥n (C)m既不平行于n,也不垂直于n (D)以上三种情况都有可能 解析:由已知得m·a=0,m·b=0,所以m·n=m·(λa+μb) =λm·a+μm·b=0,故m⊥n.故选B. 5.已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,<a,b>=135°,m⊥n, 则λ=　　　　. 解析:因为m⊥n,所以m·n=0,即(a+b)·(a+λb) =a2+(1+λ)a·b+λb2=18-12(1+λ)+16λ=0, 解得λ=-. 答案:- 能力提升 6.(多选题)已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接AC,BD, PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积一定为零的是(　BCD　) (A)与 (B)与 (C)与 (D)与 解析:因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD,故·=0;由PA⊥平面ABCD,可得PA⊥AD,又AD⊥AB,PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB.又PB⊂平面PAB,所以AD⊥PB,故·=0;同理·=0.故选BCD. 7.空间四边形ABCD的各边和对角线均相等,E是BC的中点,那么(　C　) (A)·<· (B)·=· (C)·>· (D)·与·的大小不能比较 解析:因为·=(+)·(-)=(||2-||2)=0, ·=(+)·=·+· =·(-)+· =||||cos 120°-||||cos 120°+||||cos 120°<0, 所以·>·.故选C. 8.(多选题)在正方体ABCD -A1B1C1D1中,若M是线段A1C1上的动点,则下列结论正确的有(　ABC　) (A)异面直线AM,BD所成的角为 (B)异面直线CM,AB所成的角可为 (C)异面直线CM,BD所成的角为 (D)异面直线CM,B1B所成的角可为 解析:设正方体的棱长为1,且C1M=λC1A1(0≤λ≤1), 则·=(+)·=·+(1-λ)·=0, 所以A正确; 因为·=(+)·=·+λ·=-λ, 所以cos<,>==, 所以异面直线CM,AB所成角的余弦值为, 又=(0≤λ≤1)有解,所以B正确; 因为·=(+)·=·+λ·=0, 所以C正确; 因为B1B∥C1C,所以CM与B1B所成的角等于CM与C1C所成的角,易得该角小于,所以D不正确. 故选ABC. 9.(2020·北京十一学校高二期中)在长方体ABCD -A1B1C1D1中, BC=CC1=1,∠AD1B=,则直线AB1与BC1所成角的余弦值为　　　　. 解析:设AB=a,因为=+, =++, 则·=·+·+·+·+·+ ·=0+1+0+0+0+1=2. 又||=,||=, 所以cos∠AD1B===,得a=(负值舍去). 因为=+,=+, 所以·=·+·+·+·=1+0+0+0=1. 又||=,||=, 所以cos<,>===. 答案: 10.设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1, 则|a|2+|b|2+|c|2=　　　　.  解析:法一　由a+b+c=0,得c=-a-b. 又(a-b)·c=0,所以(a-b)·(-a-b)=0,即a2=b2. 则c2=(a+b)2=a2+b2+2a·b=a2+b2=2,所以|a|2+|b|2+|c|2=4. 法二　如图,作==a,=b,则=c.因为a⊥b,所以AB⊥BC. 又因为