1.3.2 空间向量运算的坐标表示（课时训练）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

1.3.2　空间向量运算的坐标表示 选题明细表 知识点、方法 题号 向量运算的坐标表示 1,2,7 平行、垂直 3,5,11 夹角、距离 4,6,8,13 综合 9,10,12,14 基础巩固 1.已知向量a=(1,2,3),b=(-1,0,1),则a+2b等于(　A　) (A)(-1,2,5) (B)(-1,4,5) (C)(1,2,5) (D)(1,4,5) 解析:a+2b=(1,2,3)+2(-1,0,1)=(1,2,3)+(-2,0,2)=(-1,2,5). 故选A. 2.已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c,则p·q等于(　A　) (A)-1 (B)1 (C)0 (D)-2 解析:因为p=a-b=(1,0,-1), q=a+2b-c=(1,1,0)+(0,2,2)-(1,0,1)=(0,3,1), 所以p·q=1×0+0×3+(-1)×1=-1,故选A. 3.设x,y∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),且a⊥c,b∥c,则x+y的值为(　A　) (A)-1 (B)1 (C)2 (D)3 解析:因为a⊥c,所以a·c=2x-4+2=0,解得x=1.又b∥c,所以=, 解得y=-2,则x+y=-1,故选A. 4.在空间直角坐标系中,已知M(-1,0,2),N(3,2,-4),则MN的中点P到坐标原点O的距离为(　A　) (A) (B) (C)2 (D)3 解析:由中点坐标公式,得P(1,1,-1), 所以=(1,1,-1),||==.故选A. 5.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3), 且BP⊥平面ABC,则=　　　　.  解析:因为⊥,所以·=0, 即1×3+5×1+(-2)z=0,所以z=4. 因为BP⊥平面ABC, 所以⊥,且⊥, 即 解得 所以=(,-,-3). 答案:(,-,-3) 6.(2021·安徽芜湖高二期未)如图,在三棱锥PABC中,△ABC为等边三角形,△PAC为等腰直角三角形,PA=PC=4,平面PAC⊥平面ABC,D为AB的中点,则异面直线AC与PD所成角的余弦值为　　　　.  解析:取AC的中点O,连接OP,OB, 因为PA=PC,所以AC⊥OP. 又因为平面PAC⊥平面ABC, 平面PAC∩平面ABC=AC, 所以OP⊥平面ABC, 又因为AB=BC,所以AC⊥OB, 以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 因为△PAC是等腰直角三角形,PA=PC=4, △ABC为等边三角形, 所以A(2,0,0),C(-2,0,0),P(0,0,2),D(,,0), 所以=(-4,0,0),=(,,-2), 所以cos<,>===-. 所以异面直线AC与PD所成角的余弦值为. 答案: 能力提升 7.(2021·北京东直门中学高二期中)已知O为原点,=(1,2,3), =(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则·取得最小值时,点Q的坐标为(　C　) (A)(,,) (B)(,,) (C)(,,) (D)(,,) 解析:点Q在直线OP上运动,设=λ=(λ,λ,2λ)(λ∈R), 则=-=(1-λ,2-λ,3-2λ),=-=(2-λ,1-λ,2-2λ). 所以·=6(λ-)2-,所以当λ=时,·最小, 此时Q(,,),故选C. 8.(2020·湖北武汉高二期末)在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,P是底面ABCD(含边界)上一动点,满足A1P⊥AC1,则线段A1P长度的取值范围是(　A　) (A)[,] (B)[,] (C)[1,] (D)[,] 解析:如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1). 因为P是底面ABCD(含边界)上一动点, 所以设P(x,y,0)(0≤x≤1,0≤y≤1), 则=(x,y,-1),=(1,1,1). 因为A1P⊥AC1,所以·=x+y-1=0, 所以=x2+y2+1=x2+(1-x)2+1=2x2-2x+2=2(x-)2+, 所以当x=时,取得最小值,此时线段A1P的长度为=; 当x=0或x=1时,取得最大值2,此时线段A1P的长度为, 所以线段A1P长度的取值范围是[,].故选A. 9.(多选题)已知向量a·b=b·c=a·c,b=(3,0,-1),c=(-1,5,-3),下列等式中正确的是(　BCD　) (A)(a·b)·c=b·c (B)(a+b)·c=a·(b+c) (C)(a+b+c)2=a2+b2+c2 (D)|a+b+c|=|a-b-c| 解析:由题意得a·b=a·c=b·c=-3+0+3=0. (a·b)·c=0,所以A选项错误; (a+b)·