1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（课时训练）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　用空间向量研究距离问题 选题明细表 知识点、方法 题号 点到直线的距离 2,3,9 点到平面的距离 5,6,8 点点距、线线距、线面距、面面距 1,4,10,11 综合 7 基础巩固 1.在空间直角坐标系Oxyz中,P(2,0,-4),Q(-1,2,1),M是OP的中点,则QM=(　C　) (A) (B) (C) (D) 解析:因为在空间直角坐标系Oxyz中,P(2,0,-4),Q(-1,2,1),M是OP的中点,所以M(1,0,-2),则QM==.故选C. 2.已知△ABC的顶点A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上的高BD的长等于(　C　) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 解析:取a==(4,-5,0),u==(0,,-), 所以BD===5.故选C. 3.已知三棱锥OABC中,OA⊥OB,OB⊥OC,OC⊥OA,且OA=1,OB=2,OC=2,则点A到直线BC的距离为(　B　) (A) (B) (C) (D)3 解析:以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 由题意可知A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2), 所以=(-1,2,0),=(0,-2,2), 取a==(-1,2,0),u==(0,-,). 则点A到直线BC的距离为==.故选B. 4.如图,在空间直角坐标系中,有一棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1,A1C的中点E到AB的中点F的距离为(　B　) (A)2 (B) (C)2 (D)1 解析:由题意得A1(2,0,2),C(0,2,0),A1C的中点E(1,1,1), A(2,0,0),B(2,2,0),AB的中点F(2,1,0),所以A1C的中点E到AB的中点F的距离为EF==.故选B. 5.在长方体ABCDA1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到平面AB1D1的距离为(　C　) (A) (B) (C) (D) 解析:如图,建立空间直角坐标系Dxyz, 则A(2,0,0),A1(2,0,4),B1(2,2,4),D1(0,0,4), 所以=(2,2,0),=(2,0,-4),=(0,0,4). 设n=(x,y,z)是平面AB1D1的法向量, 则n⊥,n⊥, 所以即 令z=1,则平面AB1D1的一个法向量为n=(2,-2,1). 故点A1到平面AB1D1的距离为d==.故选C. 6.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,则点O到平面ABC1D1的距离为　　　　.  解析:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 连接AO,易得O(,,1),A(1,0,0),D1(0,0,1),B(1,1,0),=(0,1,0), =(-1,0,1). 设平面ABC1D1的法向量为n=(x,y,z), 令x=1,则n=(1,0,1),=(-,,1), 所以点O到平面ABC1D1的距离d===. 答案: 能力提升 7.(多选题)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,点E,O分别是A1B1, A1C1的中点,P在正方体内部且满足=++,则下列说法正确的是(　BC　) (A)点A到直线BE的距离是 (B)点O到平面ABC1D1的距离为 (C)平面A1BD与平面B1CD1间的距离为 (D)点P到直线AB的距离为 解析:如图,建立空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1), E(,0,1), 所以=(-1,0,0), =(-,0,1). 设∠ABE=θ, 则cos θ==,sin θ==. 故点A到直线BE的距离d1=||sin θ=1×=,故A错误. 易知==(-,-,0), 平面ABC1D1的一个法向量为=(0,-1,1),则点O到平面ABC1D1的距离d2===,故B正确. =(1,0,-1),=(0,1,-1),=(0,1,0). 设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则 所以令z=1,得y=1,x=1, 所以n=(1,1,1). 所以点D1到平面A1BD的距离d3===. 因为易证得平面A1BD∥平面B1CD1,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离, 所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为,故C正确. 因为=++,所以=(,,),又=(1,0,0), 则=, 所以点P到直线AB的距离d4===,故D错误.故选BC. 8.(2020·河北唐山第二中学高二上期中)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1