1.1.2 空间向量的数量积运算（课件）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

1.1.2　空间向量的数量积运算 数学 核心知识目标 核心素养目标 1.掌握空间向量的数量积. 2.了解空间投影向量的概念以及投影向量的意义. 3.能初步运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题. 在理解并应用空间向量数量积的过程中,掌握相关概念和方法,培养学生的数学抽象和数学运算素养. 数学 知识探究·素养启迪 课堂探究·素养培育 数学 知识探究·素养启迪 在必修二第六章课程中学习过两个平面向量a和b的数量积的定义及其运算、性质. 情境导入 探究:(1)平面向量的数量积a·b是怎样定义的? (2)类比平面向量的数量积的定义,你能给出空间向量数量积的定义吗? (3)空间向量数量积运算满足交换律和分配律吗? 答案:(1)a·b=|a||b|cos<a,b>. (2)能,a·b=|a||b|cos<a,b>. (3)满足. 数学 知识探究 1.空间向量的夹角 互相垂直 ∠AOB 数学 定义 已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos<a,b>叫做a,b的数量积,记作 . 运算律 数乘向量与向量 数量积的结合律 (λa)·b= ,λ∈R 交换律 a·b= . 分配律 (a+b)·c= . [问题1] 点O的位置影响向量a,b的夹角的大小吗? a·b 答案:不影响,当向量a,b确定了,它们的夹角就唯一确定了. 2.空间向量的数量积 λ(a·b) b·a a·c+b·c 数学 空间向量数量积的性质: (1)若a,b是非零向量,则a⊥b⇔a·b=0; (4)|a·b|≤|a||b|. 数学 答案:不满足.即对于向量a,b,c,(a·b)c是与c共线的向量,而a·(b·c)是与a共线的向量,所以两者不一定相等. [问题2] 空间向量的数量积运算满足结合律吗? 3.投影向量 如图(1),在空间,向量a向向量b投影,可以先将它们平移到同一个平面α内, 进而利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c,c= ,向量c称为向量a在 上的投影向量. 类似地,可以将向量a向直线l投影(如图(2)). 向量b 数学 平面β 夹角 数学 [问题3-1] 向量b≠0,则与b同向的单位向量是什么? [问题3-2] 向量的投影的结果是实数还是向量? 答案:向量. 数学 小试身手 D 数学 答案:1 答案:135° 数学 数学 课堂探究·素养培育 探究点一 [例1] 如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F分别是AB,AD的中点,计算: 向量的数量积运算 数学 数学 数学 数学 数学 方法总结 (1)空间向量数量积运算的两种方法 ①利用定义:利用a·b=|a||b|cos<a,b>并结合运算律进行计算. ②利用图形:计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行运算. (2)在几何体中求空间向量数量积的步骤 ①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. ②利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积. ③代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解. 数学 变式训练1:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=1,AD=2,O为AC与BD的交点,E为A1D1的中点,求下列向量的数量积: 数学 数学 数学 探究点二 利用数量积求异面直线所成的角 [例2] (2020·湖北部分重点中学联考)如图所示,已知在平行六面体ABCD- A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱AA1的长为b,且∠A1AB= ∠A1AD=120°.求直线BD1与AC所成角的余弦值. 数学 数学 数学 方法总结 (2)利用向量方法求异面直线所成角的步骤 数学 变式训练2:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是C1D1,D1D的中点,若正方体的棱长为1,求直线CE与AF所成角的余弦值. 数学 数学 探究点三 利用向量数量积求距离 [例3] (2020·广西南宁高二月考)如图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1, ∠ACD=90°,沿着它的对角线AC将△ACD折起,使AB与CD成60°角,求此时B, D间的距离. 数学 数学 方法总结 利用向量方法求长度或距离的基本方法 (1)将相应线段用向量表示,通过向量运算来求对应向量的模. (3)可用|a·e|=|a||cos θ|(e为单位向量,θ为a,e的夹角)来求一个向量在另一个向量上的投影向量的大小.　 数学 变式训练3:如图所示,在一个直二面角α-AB-β的棱上有两点A,B,AC,BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段,且AB=4,AC=6,BD=8,则线段CD