1.3.1 空间直角坐标系（课件）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

1.3　空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1　空间直角坐标系 数学 核心知识目标 核心素养目标 1.在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性,会用空间直角坐标系刻画点的位置. 2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 通过建立空间直角坐标系,表示空间向量的坐标,培养数学抽象、直观想象、数学运算等核心素养. 数学 知识探究·素养启迪 课堂探究·素养培育 数学 知识探究·素养启迪 在一条直线上可以建立数轴,将每个点的位置用一个实数x来表示.在一个平面上可以建立平面直角坐标系,将每个点的位置用两个实数组成有序实数对(x,y)来表示. 情境导入 探究:(1)在空间中怎样表示每个点的位置呢? 答案:(1)用三个实数组成的有序实数组(x,y,z)来表示每个点的位置. 数学 探究:(2)如图,如何刻画在海面上空飞行的飞机的位置P? 答案:(2)先说明飞机在海面上点P′的上空,再说明飞机在海面上空的高度P′P.如图,将海面看成一个平面,从飞机在空中所在位置向海平面作垂线PP′,垂足为P′,则飞机在P′上空.为了刻画P′在海平面上的位置,在海平面上建立平面直角坐标系,则P′可以由它在这个坐标系中的坐标(x,y)来刻画.又由于飞机在海平面上空的高度PP′=z是一个实数,因而将x,y,z这三个实数组成有序实数组(x,y,z),它就刻画了飞机的位置P,称之为点P的坐标. 数学 知识探究 1.空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}.以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点, i,j,k都叫做 ,通过每两条坐标轴的平面叫做 ,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成八个部分. 坐标向量 坐标平面 数学 [问题1] 空间直角坐标系的三个要素是什么? 答案:原点、坐标轴方向、单位长度. 纵 横 竖 数学 (x,y,z) [问题2-1] 如果点P不在三个坐标平面内,如何确定它的坐标? 答案:如图,过点P分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面,依次交x轴、y轴和z轴于点A,B,C.设交点A,B,C在x轴、y轴和z轴上的坐标分别代表唯一的实数x,y,z,将这三个实数按顺序排成一组(x,y,z),那么点P就对应唯一确定的有序实数组(x,y,z).即得到点P的坐标. 数学 答案:给定点P(x,y,z),在x轴、y轴和z轴上依次选取坐标为x,y,z的点A, B,C,过这三点分别作一个垂直于x轴、y轴和z轴的平面,则这三个平面的唯一交点就是有序实数组(x,y,z)所确定的点P. 空间中的点P与有序实数组(x,y,z)之间可以建立一一对应关系. [问题2-2] 给定一点P的坐标,即P(x,y,z),如何在空间直角坐标系下确定这个点? 数学 小试身手 C 1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的(　 　) (A)y轴上 (B)Oxy平面上 (C)Ozx平面上 (D)第一象限内 解析:点(2,0,3)的纵坐标为0,所以该点在Ozx平面上.故选C. 数学 2.在空间直角坐标系中,点P(3,4,5)与Q(3,-4,-5)两点的位置关系是( 　 ) (A)关于x轴对称 (B)关于Oxy平面对称 (C)关于原点对称 (D)以上都不对 A 解析:点P(3,4,5)与Q(3,-4,-5)两点的横坐标相同,而纵、竖坐标互为相反数,所以两点关于x轴对称.故选A. 数学 3.已知A(3,2,-4),B(5,-2,2),则线段AB中点的坐标为　　　　.  答案:(4,0,-1) 数学 4.设{i,j,k}是空间的一个单位正交基底,则向量a=3i+2j-k,b=-2i+4j+2k的坐标分别是　　　　　　　　.  解析:因为{i,j,k}是单位正交基底,故根据空间向量坐标的概念知a=(3,2,-1),b=(-2,4,2). 答案:(3,2,-1),(-2,4,2) 数学 课堂探究·素养培育 探究点一 [例1] 长方体ABCD-A′B′C′D′的长、宽、高分别为AB=8,AD=3,AA′=5.建立适当的空间直角坐标系,并求顶点A,B,C,D,A′,B′,C′,D′的坐标. 空间直角坐标系 解:如图,以A为原点,分别以直线AB,AD,AA′为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Axyz,则点A,B,C,D都在平面Axy内,因而其竖坐标z都为0,因此A,B,C,D的坐标分别是A(0,0,0),B(8,0,0),C(8,3,0),D(0,3,0). 数学 由于点A′,B′,C′,D′都在一个垂直于z轴的平面A′B′C′D′内.又AA