1.3.2 空间向量运算的坐标表示（课件）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

1.3.2　空间向量运算的坐标表示 数学 核心知识目标 核心素养目标 1.掌握空间向量坐标运算公式,并能解决相应问题. 2.掌握向量平行、向量垂直的坐标表示,并能解决相关的向量的平行、向量的垂直问题. 3.能熟练应用两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式. 通过空间向量运算的坐标表示及应用,提升数学运算、直观想象、数学抽象等核心素养. 数学 知识探究·素养启迪 课堂探究·素养培育 数学 探究:(1)若以F1,F2,F3的方向分别为x轴,y轴,z轴正方向建立空间直角坐标系,则该物体所受合力F的坐标是什么? (2)该物体的合力有多大? 知识探究·素养启迪 情境导入 (2)|F|=5 N. 数学 运算 坐标表示(a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)) 加法 a+b= . 减法 a-b= . 数乘 λa= ,λ∈R 数量积 a·b= . 知识探究 1.空间向量运算的坐标表示 (a1+b1,a2+b2,a3+b3) (a1-b1,a2-b2,a3-b3) (λa1,λa2,λa3) a1b1+a2b2+a3b3 一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. 数学 [问题1] 已知向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则a=b的充要条件是什么? 2.空间向量的平行与垂直的坐标表示 a1b1+a2b2+a3b3=0 数学 (x2-x1,y2-y1,z2-z1) 数学 [问题2] 向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),a≠0,b≠0,x1x2+y1y2+z1z2>0是<a,b>为锐角的充要条件,对吗? 答案:不对,由a·b=x1x2+y1y2+z1z2>0得不到<a,b>为锐角,因为当<a,b>=0时,a·b=x1x2+y1y2+z1z2>0也成立,所以x1x2+y1y2+z1z2>0是<a,b>为锐角的必要不充分条件. 数学 小试身手 D 1.已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则下列结论正确的是(　 　) (A)a+b=(10,-5,-6) (B)a-b=(2,-1,-6) (C)a·b=10 (D)|a|=6 数学 B 数学 3.若向量a=(-1,0,1),向量b=(2,0,k),且满足a∥b,则k等于　　　　.  答案:-2 数学 答案:π 数学 课堂探究·素养培育 探究点一 [例1] 已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),求a+b,a-b,a·b,2a·(-b),(a+b)·(a-b). 空间向量的坐标运算 解:a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4)=(2+0,-1-1,-2+4)=(2,-2,2); a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4)=(2-0,-1+1,-2-4)=(2,0,-6); a·b=(2,-1,-2)·(0,-1,4)=2×0+(-1)×(-1)+(-2)×4=-7; 2a·(-b)=-2(a·b)=-2×(-7)=14; (a+b)·(a-b)=(2,-2,2)·(2,0,-6)=2×2-2×0+2×(-6)=-8. 数学 方法总结 空间向量的加法、减法、数量积及数乘运算的方法 (1)根据已知向量的坐标,代入空间向量的加、减、数量积和数乘运算的坐标表示公式进行计算. (2)熟练应用有关的公式: ①(a+b)2=a2+2a·b+b2; ②(a-b)2=a2-2a·b+b2; ③(a+b)·(a-b)=a2-b2. (3)空间向量的坐标运算法则和平面向量的坐标运算法则类似,可类比记忆.计算2a·(-b),既可以利用运算律把它化成-2(a·b),也可先求出2a,-b,再求数量积. 数学 变式训练1:(1)若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),且满足条件 (c-a)·2b=-2,则x=　　　　;  解析:(1)据题意,有c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2), 故(c-a)·2b=2(1-x)=-2,解得x=2. 答案:(1)2 数学 答案:(2)120° 数学 探究点二 空间向量平行、垂直的坐标表示 [例2] 已知a=(1,5,-1),b=(-2,3,5),分别求满足下列条件的实数k的值. (1)(ka+b)∥(a-3b);(2)(ka+b)⊥(a-3b). 数学 方法总结 (1)判断向量是否平行、垂直,可根据向量平行、垂直的坐标表示转化为判断代数等式是否成立. (2)根据向量的平行、垂直求参数,可转化为解关于参数的方程(组). 数学 变式训练2:已知空间三点O(0,0,0),A(-1,1,0