1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（课件）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　用空间向量研究距离问题 数学 核心知识目标 核心素养目标 1.掌握应用向量法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题. 2.体会向量方法在研究立体几何问题中的作用. 通过学习向量法解决空间中距离问题,培养学生的逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养. 数学 知识探究·素养启迪 课堂探究·素养培育 数学 知识探究·素养启迪 知识探究 1.空间中的距离 (1)直线l外一点P到直线l的距离 数学 (2)平面α外一点P到平面α的距离 [问题1] 类比点到直线的距离的求法,如何求两条平行直线之间的距离. 答案:在其中一条直线上取一点P,转化为点P到另一条直线的距离. 数学 2.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” (1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题; (3)把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论. [问题2] 类比点到平面的距离,如何求两个平行平面的距离? 答案:在其中一个平面上取一点P,转化为点P到另一个平面的距离. 数学 1.已知平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在α内,则 P(-2,1,4)到α的距离为(　 　) 小试身手 D 数学 2.(2020·山东高二检测)已知点A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),则点A到直线BC的距离为(　 　) A 数学 数学 课堂探究·素养培育 探究点一 [例1] 如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A′B′C′D′,AB=1,BC=2, AA′=3,求点B到直线A′C的距离. 点到直线的距离 数学 数学 方法总结 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求直线的单位方向向量u. (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a. 数学 数学 探究点二 点到平面的距离 数学 (1)求证:M为PB的中点; 数学 (2)求点C到平面BDP的距离d. 数学 数学 方法总结 利用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求出该平面的一个法向量. (3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量. (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即为点到平面的距离. 数学 变式训练2:已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=6,BC=4,BB1=3,求点B1到平面A1BC1的距离. 数学 探究点三 线线距、线面距和面面距 [例3] 已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段A1B1的中点,F为线段AB的中点. (1)若D1C1的中点为H,求直线A1H与直线FC的距离; 数学 数学 (2)求平面AEC1与平面FB1C的距离. 数学 数学 方法总结 (1)求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可. (2)求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可. 数学 数学 数学 数学 课堂达标 D 数学 2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=a,AA1=2a,则点D1到直线AC的距离为 (　 　) D 数学 3.设A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),则点D到平面ABC的距离为 　　　 　.  数学 数学 答案:3 数学 备用例题 [例1] 如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长均为4,N是CC1的中点.求: 数学 (1)点N到直线AB的距离; 数学 (2)点C1到平面ABN的距离. 数学 数学 (1)求异面直线AC与PB间的距离; 数学 数学 (2)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥平面PAC,并求出点N到直线AB和AP的距离. 数学 点击进入 课时训练·分层突破 数学 如图,直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.设=a,则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u.在Rt△APQ中,由勾股定理,得点P到直线 l的距离为PQ== . 如图,已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离就是 在直线l上的投影向量的长度.因此PQ= = = . |·| || (A)10 (B)3 (C) (D) 解析:由条件可得P(-2,1,4)到α的距离为==. 故选D