2.1.1 倾斜角与斜率（课件）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

第二章　直线和圆的方程 2.1　直线的倾斜角与斜率 2.1.1　倾斜角与斜率 数学 核心知识目标 核心素养目标 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式. 通过对确定直线位置的几何要素倾斜角、斜率的学习,体验和提升数学抽象、直观想象、数学运算等核心素养. 数学 知识探究·素养启迪 课堂探究·素养培育 数学 知识探究·素养启迪 我们知道,经过两点有且只有(确定)一条直线.那么,经过一点P的直线l的位置能确定吗?如图所示,过一点P可以作无数多条直线a,b,c,…,我们可以看出这些直线都过点P,但它们的“倾斜程度”不同. 情境导入 探究:怎样描述这种“倾斜程度”的不同? 答案:先用直线的方向,进而发展到倾斜角、斜率来描述. 数学 知识探究 1.直线的倾斜角 (1)直线的方向 在平面直角坐标系中,我们规定水平直线的方向 ,其他直线 的方向为这条直线的方向. (2)直线的倾斜角 当直线l与x轴相交时,以x轴为基准,x轴 与直线l 的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 .因此,直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 向右 向上 正向 向上 0° 数学 答案:在平面直角坐标系中,每一条直线都有一个确定的倾斜角,而且方向相同的直线,其倾斜程度相同,倾斜角相等;方向不同的直线,其倾斜程度不同,倾斜角不相等. [问题1] 直线的倾斜角与直线的方向有什么关系? 2.直线的斜率 (1)直线的斜率 直线l的倾斜角α与直线l上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的坐标有如 下关系:tan α= . ① 数学 我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k= . ②  倾斜角是90°的直线 斜率,倾斜角不是90°的直线都有斜率. (2)直线的斜率公式 如果直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),那么由①②可得如下的斜率 公式:k= . tan α 没有 数学 答案:①直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系 [问题2] 直线的倾斜角与直线的斜率之间的关系是什么? θ 0° 0°<θ<90° 90° 90°<θ<180° k 0 k>0 不存在 k<0 ②当倾斜角α满足0°≤α<90°时,斜率k≥0,倾斜角越大,斜率越大;当90°<α<180°时,斜率k<0,倾斜角越大,斜率也越大;当α=90°时,直线的斜率不存在,直线垂直于x轴.倾斜角不同的直线,斜率k也不同. ③在平面直角坐标系中,倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度. 数学 小试身手 1.(多选题)下列命题中正确的是(　 　) (A)若α是直线l的倾斜角,则0°≤α<180° (B)若k是直线的斜率,则k∈R (C)任一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率 (D)任一条直线都有斜率,但不一定有倾斜角 解析:根据直线的倾斜角、斜率的定义判断,A,B,C正确,D不正确.故选ABC. ABC 数学 2.若经过A(m,3),B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°,则m等于(　 　) (A)2 (B)1 (C)-1 (D)-2 A 数学 数学 4.经过A(m,3),B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是　　 　　. (其中m≥1)  答案:(0°,90°] 数学 课堂探究·素养培育 探究点一 [例1] (1)若直线l向上的方向与y轴的正方向成30°角,则直线l的倾斜角为(　　) (A)30° (B)60° (C)30°或150° (D)60°或120° 求直线的倾斜角或其取值范围 解析:(1)如图,直线l有两种情况,故l的倾斜角为60°或120°.故选D. 数学 (2)设直线l过坐标原点,其倾斜角为α,将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°,得到直线l1,则直线l1的倾斜角为(　　) (A)α+45° (B)α-135° (C)135°-α (D)当0°≤α<135°时为α+45°,当135°≤α<180°时为α-135°　 数学 解析:(2)如图①所示,当0°≤α<135°时,l1的倾斜角是α+45°, 如图②所示,当135°≤α<180°时,结合图形和倾斜角的概念,即可得到l1的倾斜角为α-135°.故选D. 数学 方法总结 求直线的倾斜角的关键及两点注意 (1)关键:依据平面几何的知识判