第6章 计数原理(压轴题专练)-2021-2022学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020选修第二册）

第6章 计数原理压轴题专练 一、单选题 1．（2022·全国·高三专题练习）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图，是利用算筹表示1-9的一种方法.则据此，3可表示为“”，26可表示为“”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1-9这9数字表示的两位数的个数为（ ） A．9 B．13 C．16 D．18 【答案】C 【分析】根据题意6根算筹可表示数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；其中数字组合3、3，7、7只表示2个两位数；其余7组每组可表示2个两位数，共个，因此可表示的两位数为16个. 【详解】根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7； 数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示个两位数； 数字组合3、3，7、7，每组可以表示1个两位数，则可以表示个两位数； 则一共可以表示个两位数. 故选:C 【点睛】本题主要考查了数学文化，并以数学文化为载体考查考生的阅读能力以及逻辑推理能力，属于中档题. 2．（2021·重庆一中模拟预测）罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步.罗马数字的表示法如下： 数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 形式 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ 其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”需要2根火柴，若为0，则用空位表示. （如123表示为，405表示为）如果把6根火柴以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为（ ） A．87 B．95 C．100 D．103 【答案】D 【分析】将6根火柴能表示数字的搭配列举出来，再根据数的排列特征即可得解. 【详解】用6根火柴表示数字，所有搭配情况如下： 1根火柴和5根火柴：1根火柴可表示的数为1；5根火柴可表示的数为8，和0一起，能表示的数共有4个（108,180,801,810）. 2根火柴和4根火柴：2根火柴可表示的数为2、5；4根火柴可表示的数为7，和0一起，能表示的数有 个. 3根火柴和3根火柴：3根火柴可表示的数为3、4、6、9，和0一起，能表示的数分为2类：除0外的两个数字相同，可表示的数有个；除0外的两个数字不同，则有个，所以共有 个. 1根火柴、1根火柴和4根火柴：即有1、1、7组成的数，共有3个（117,171,711）. 1根火柴、2根火柴和3根火柴：即由1,2或5中的一个，3、4、6、9中的一个数字组成的三位数，共有 个. 2根火柴、2根火柴、2根火柴：即由2或5组成的三位数，分为两类：三个数字都相同，共有2个（222,555）；三个数字中的两个数字相同，则有个，共有 个. 综上可知，可组成的三位数共有 个. 故选：D. 【点睛】本题考查了排列组合问题的综合应用，分类、分步计数原理的应用，注意分类时要做到“不重不漏”，属于难题. 3．（2021·全国·高二专题练习）设是常数，对于，都有，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先令，求得的值，再将给定的恒等式两边求关于的导数，然后令，从而可得所求的值. 【详解】因为， 则令可得. 又对两边求导可得： ， 令， 则， 所以， 所以 故， 所以. 故选：A. 【点睛】本题考查函数的导数以及恒等式的系数和的求法，注意根据恒等式的特征选择合适的赋值，本题属于较难题. 二、填空题 4．（2022·全国·高三专题练习）工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是________． 【答案】60 【详解】分析：首先将选定第一个钉，总共有6种方法，假设选定1号，之后分析第二步，第三步等，按照分类加法计数原理，可以求得共有10种方法，利用分步乘法计数原理，求得总共有种方法. 详解：根据题意，第一个可以从6个钉里任意选一个，共有6种选择方法，并且是机会相等的，若第一个选1号钉的时候，第二个可以选3,4,5号钉，依次选下去，可以得到共有10种方法，所以总共有种方法，故答案是60. 点睛：该题考查的是有关分类加法计数原理和分步乘法计数原理，在解题的过程中，需要逐个的将对应的过程写出来，所以利用列举法将对应的结果列出，而对于第一个选哪个是机会均等的，从而用乘法运算得到结果. 5．（2021·全国·高三专题练习）设，那么满足的所有有序数组的组数为___________. 【答案】 【详解】分类讨论： ① ，则这四个数为或， 有组；