第6章 计数原理(典型题专练)-2021-2022学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020选修第二册）

第6章 计数原理典型题专练 一、单选题 1．（2019·上海嘉定·高二期末）已知n，，，下面哪一个等式是恒成立的（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用排列数、组合数公式以及组合数的性质可对各选项中的等式的正误进行判断. 【详解】由组合数的定义可知，A选项错误； 由排列数的定义可知，B选项正确； 由组合数的性质可知，则C、D选项均错误.故选B. 【点睛】本题考查排列数、组合数的定义以及组合数的性质的应用，意在考查对这些公式与性质的理解应用，属于基础题. 2．（2021·上海·高二专题练习）5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为(　　) A．240种 B．120种 C．96种 D．480种 【答案】A 【分析】由题先把5本书的两本捆起来看作一个元素，这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列，根据分步计数原理两个过程的结果数相乘即可得答案． 【详解】由题先把5本书的两本捆起来看作一个元素共有种可能，这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列共有种可能，所以不同的分法种数为种，故选A. 【点睛】本题考查排列组合与分步计数原理，属于一般题． 3．（2019·上海松江·高二期末）如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为形（每次旋转90°仍为形的图案），那么在个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的形需案的个数是 A．36 B．64 C．80 D．96 【答案】C 【分析】把问题分割成每一个“田”字里，求解. 【详解】每一个“田”字里有个“”形，如图 因为的方格纸内共有个“田”字，所以共有个“”形.. 【点睛】本题考查排列组合问题，关键在于把“要做什么”转化成“能做什么”，属于中档题. 4．（2018·上海中学高三阶段练习）现有种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】将原图从上而下的个区域标为、、、，分类讨论、同色与不同色这两种情况，利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得出结果. 【详解】将原图从上而下的个区域标为、、、， 因为、、之间不能同色，与可以同色，因此，要分类讨论、同色与不同色这两种情况. ①若、同色，则区域、有种选择，区域有种选择，区域有种选择，由分步乘法计数原理可知，此时共有种涂色方法； ②若、不同色，则区域有种选择，区域有种选择，区域有种选择，区域只有种选择，此时共有种涂色方法. 故不同的着色方法种数为. 故选：D. 【点睛】本题考查涂色问题，涉及分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题. 5．（2020·上海市七宝中学高二阶段练习）某个比赛安排4名志愿者完成6项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式有多少种（ ） A．7200种 B．4800种 C．2640种 D．1560种 【答案】D 【分析】分两类，第一类，4人完成的工作数是3，1，1，1，第二类，4人完成的工作数是2，2，1，1，再将工作分组，进行分配即可. 【详解】由题意，分两类： 第一类，当4人完成的工作数是3，1，1，1时，首先将6项工作分成4组，一组3项， 另外三组各1项，共有种不同方式，再分配给4个人共 种不同方式； 第二类，当4人完成的工作数是2，2，1，1时，首先将6项工作分成4组，两组2项， 另外两组各1项，共有种不同方式，再分配给4个人共 种不同方式；综上，共有1560种不同安排方式. 故选：D 【点睛】本题考查排列与组合的综合应用问题，涉及到部分均匀分组问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题. 6．（2021·上海·高二专题练习）若是小于的正整数，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用排列数的定义可得出正确选项. 【详解】，由排列数的定义可得. 故选D. 【点睛】本题考查排列数的表示，解题的关键就是依据排列数的定义将代数式表示为阶乘的形式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 二、填空题 7．（2020·上海·高三专题练习）现有某病毒记作其中正整数、（）可以任意选取，则、都取到奇数的概率为_____ 【答案】 【详解】∵，，且、，基本事件的总数是种，、都取到奇数的事件有种，由古典概型公式，、都取到奇数的概率为. 【考点定位】考查奇数、偶数的定义，古典概型.注意古典概型与几何概型的区别.容易题. 8．（2019·上海松江·高二期末）若，则实数________. 【答案】或 【分析】根据组合数的性质得解. 【详解】由组合数的性质得或， 所以或 【点睛】本题考查组合数的性质，属于基础题. 9．（2019·上海市延安中学高二期末）的不同正约数共有______