专题一 第二讲 三角恒等变换与解三角形基本问题（教参）-2022高考数学【优化探究】二轮专题复习（新教材新高考）

第二讲　三角恒等变换与解三角形基本问题 授课提示：对应学生用书第10页 把脉考情　1.继续以选择、填空题形式考查三角恒等变换求值，注意与三角函数性质交汇考查． 2．继续以选择、填空题形式考查正、余弦定理的基本应用． 1．(2021·新高考全国Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则＝(　　) A．－　　　　　　　 B．－ C. D. 解析： ＝ ＝ ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin2θ＋sin θ·cos θ ＝ ＝＝＝. 答案：C 方向 二倍角公式、同角三角函数. 素养 逻辑推理、数学运算. 方法 先利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系等，化简已知三角式，然后利用弦化切或切化弦，求出三角函数值. 2.(2020·全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝(　　) A.　　　　　　　　 B． C. D. 解析：由3cos 2α－8cos α＝5，得3(2cos2α－1)－8cos α＝5，即3cos2α－4cos α－4＝0， 解得cos α＝－或cos α＝2(舍去)． 又因为α∈(0，π)，所以sin α＞0， 所以sin α＝＝ ＝. 答案：A 方向 已知三角函数值求三角函数值. 素养 数学运算、逻辑推理. 方法 利用倍角公式化为单角cos α，再利用同角关系求sin α. 3.(2020·全国卷Ⅲ)已知2tan θ－tan＝7，则tan θ＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：2tan θ－tan＝2tan θ－＝7，解得tan θ＝2. 答案：D 方向 正切公式化简与求值. 素养 数学运算、逻辑推理. 方法 利用tan公式化为tan θ. 4.(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝(　　) A. B. C. D. 解析：由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝42＋32－2×4×3×＝9，所以AB＝3， 所以cos B＝＝＝. 答案：A 方向 余弦定理求边，求角. 素养 数学运算. 方法 先利用余弦定理求出AB，再利用余弦定理求cos B. 授课提示：对应学生用书第11页 　　多维探究 (一)常规考法——考四基 1．(给角求值)4cos 50°－tan 40°＝(　　) A.　　　　　　　　 B． C. D．2－1 解析：∵4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－tan 40° ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝. 答案：C 2．(给值求值)已知α∈(0，π)，cos＝，则sin α的值为(　　) A. B. C. D. 解析：因为α∈(0，π)，所以<α＋<， 又cos＝，所以<α＋<， 于是sin＝， 故sin α＝sin ＝sincos－cossin＝×－×＝. 答案：B 3．(给值求角)在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q. 已知点P的横坐标为，点Q的纵坐标为，则2α－β的值为__________． 解析：法一：由已知可知cos α＝，sin β＝. 又α，β为锐角，所以sin α＝，cos β＝. 因此cos 2α＝2cos2α－1＝， sin 2α＝2sin αcos α＝， 所以sin(2α－β)＝×－×＝. 因为α为锐角，所以0<2α<π. 又cos 2α>0，所以0<2α<， 又β为锐角，所以－<2α－β<， 又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝. 法二：同法一得，cos β＝，sin α＝. 因为α，β为锐角，所以α－β∈. 所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝. 所以sin(α－β)>0，故α－β∈， 故cos(α－β)＝＝＝. 又α∈，所以2α－β＝α＋(α－β)∈(0，π)． 所以cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin α·sin(α－β)＝×－×＝. 所以2α－β＝. 答案： 　1.给值求角问题的解题策略 给值求角问题可转化为给值求值问题求解，解题步骤如下． (1)求所求角的某一三角函数值，原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为，选正弦函数较好． (2)利用该三角函数值并结合所求角的范围及三角函数的单调性求得角．确定角的范围的技巧：①根据题目给定的角的范围确定；②根据已知三角函数值的正负等确定．应尽量使角的范围精准，避免增根. 2.解决条件求值问题的关注点 (1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角．