专题二 专题提能 透视数列高考热点，探求应对策略（教参）-2022高考数学【优化探究】二轮专题复习（新教材新高考）

　　　　　　　　　　　　透视数列高考热点，探求应对策略 授课提示：对应学生用书第26页 数列是一种特殊的函数，其考查的重点是数列的通项、数列的前n项和、参数取值范围的探求、数列不等式的证明等，研究的数列主要是等比数列与等差数列．数列的最值、周期性、单调性的探究，以及递推数列的相关综合题目，也是历年高考考查的热点. (一)数列单调性及应用 1．与等差数列的单调性有关的问题 [例1]　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，－＝－4，则Sn取最大值时n的值为(　　) A．4　　　　　　　　 B．5 C．6 D．4或5 [解析]　因为数列{an}为等差数列，且－＝－4， 所以－＝－＝a5－a3＝2d＝－4， 解得d＝－2，所以数列{an}为单调递减数列，即Sn存在最大值． 因为a1＝9，所以an＝－2n＋11， 由得 解得4.5＜n≤5.5. 因为n∈N*， 所以n＝5，所以数列{an}的前n项和Sn取最大值时n的值为5. [答案]　B 破解此类题的关键：一是活用等差数列的性质与前n项和公式；二是判断数列的公差的符号，从而得数列的单调性；三是根据相邻项异号，得出等差数列前n项和的最值. 2．与等比数列的单调性有关的问题 [例2]　已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，an＋2an＋1＝0，则Sn－的最大值与最小值的积为________． [解析]　因为an＋2an＋1＝0，所以＝－，所以等比数列{an}的公比为－，因为a1＝， 所以Sn＝＝1－n. ①当n为奇数时，Sn＝1＋n，Sn随着n的增大而减小，则1＜Sn≤S1＝，故0＜Sn－≤； ②当n为偶数时，Sn＝1－n，Sn随着n的增大而增大，则＝S2≤Sn＜1，故－≤Sn－＜0. 综上，Sn－的最大值与最小值分别为，－.故Sn－的最大值与最小值的积为×＝－. [答案]　－ 　判断数列的单调性的方法 (1)函数法：构造函数，通过判断所构造函数的单调性，即可得出相应数列的单调性. (2)定义法：利用单调函数的定义判断数列的单调性. (3)作差法：对于数列中任意相邻的两项an＋1，an，通过作差an＋1－an，判断其与0的大小，即可判断数列的单调性. (4)作商法：数列的各项非零且同号(同正或同负)，对于数列中任意相邻的两项an＋1，an，通过作商，判断其与1的大小，即可判断数列的单调性. 3．非等差、等比数列的单调性 [例3]　在数列{an}中，已知an＝(2n＋1)n－1，则{an}中的最大项为__________． [解析]　法一：an＋1－an＝(2n＋3)·n＋1－(2n＋1)n＝n， 因为n≥1，故－n<0，又n>0，所以an＋1－an<0，即an＋1<an， 所以a1>a2>a3>…>an>…， 所以{an}中的最大项为a1＝. 法二：设f(x)＝(2x＋1)x－1(x≥1)， 则f′(x)＝2x＋(2x＋1)xln＝x， 因为x≥1，所以2x＋1≥3，而ln<0， 所以(2x＋1)ln≤3ln， 而3ln＝ln3＝ln<ln＝－2， 所以(2x＋1)ln<－2， 故2＋(2x＋1)ln<0.又x>0， 所以x<0， 即f′(x)<0，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递减， 所以f(x)max＝f(1)＝(2＋1)×－1＝. 又an＝f(n)＝(2n＋1)n－1，n∈N*， 所以{an}中的最大项为a1＝. 法三：设an为数列{an}中的最大项， 则 即 解得≤n≤，又n∈N*，所以n＝1. 所以{an}中的最大项为a1＝. [答案]　a1＝ 法一：作差确定符号，研究an与an＋1的关系． 法二：通过求导、巧妙放缩． 法三：利用函数极值思想． (二)求得通项，何愁放缩 [例4]　已知数列{an}满足a1＝8，(n＋1)an＋1＝(n＋3)an＋8n＋8， (1)求an； (2)求证：＋＋…＋<. [解析]　(1)(n＋1)an＋1＝(n＋3)an＋8n＋8两边同除以(n＋1)(n＋2)(n＋3)，得＝＋， 即－＝8. 利用累加法，可得－＝8， 化简求得an＋1＝4(n＋1)(n＋2)，所以an＝4n(n＋1)． (2)证明：本题实质上是对4n2＋4n－1的放缩， 思路1：<＝，<＝－.(放缩过头，保留前16项不放缩，有<0.285 2<≈0.285 7) 说明：利用待定系数法，可以将2变为. <对一切n恒成立，则λ>＝1＋恒成立， λ>max＝1＋＝，于是<＝， <＝－<. 思路2：< ＝， 通过计算，当n≥4时， ＋＋＋…＋<＋＋＋ <＋＋＋<. 思路3：< ＝＝. 当n≥3时，＋＋…＋<＋＋ <＋＋<＋＋＝. 逆向思维：只要证明原式小于， 因此，只要证明<<，此式当n≥3时恒成立．另一方面，当n＝2时，＋＝＋<，所以要证不等式成立．