专题02一元二次函数、方程和不等式-2021-2022学年高一上学期数学人教A版2019必修第一册期末复习

专题02一元二次函数、方程和不等式 一．构建知识框架 二．知识点复习 知识点一　不等关系 1．两个实数比较大小的依据 (1)a＞b⇔a－b＞0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a＜b⇔a－b＜0. 2．不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)可加性：a＞b⇒a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方：a＞b＞0⇒ ＞ (n∈N，n≥2)． 例1.若，则下列不等式中成立的是 A． B． C． D． 解析：B 对于A，取，，满足，但，故A错误；对于B，因为幂函数在上单调递增，所以若可得，故B正确；对于C，取，，满足，但，故选项C错误；对于D，取，，满足，但，故选项D错误。故选B。 例2.(易错题)若－＜α＜β＜，则α－β的取值范围是________． 解析：由－＜ α ＜，－＜－β ＜，α ＜ β，得－π＜ α－ β＜0. 知识点二 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两相异 实数根x1， x2(x1<x2) 有两相等实 数根x1＝x2 ＝－ 没有 实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1 或x>x2} {x|x≠x1} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ 例1.已知1与2是三次函数的两个零点. （1）求的值；（2）求不等式的解集. 解析：（1）由函数的零点可得的两个根为1、2，则有， 解得． （2） 由（1）知，代入不等式得 解得． 故不等式的解集为． 例2.某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元）。一万件售价是30万元，若商品能全部卖出，则该企业一个月生产该商品的最大利润为 A．139万元 B．149万元 C．159万元 D．169万元 解析：C 利润，故最大利润为159万元。 例3.解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)． 解析：原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，因为a>0，所以a(x－1)<0. 所以当a>1时，解为<x<1； 当a＝1时，解集为∅； 当0<a<1时，解为1<x<. 综上，当0<a<1时，不等式的解集为；当a＝1时，不等式的解集为∅； 当a>1时，不等式的解集为. 知识点三 基本不等式 一.基本不等式：≤ 1．基本不等式成立的条件是a＞0，b＞0. 2．等号成立的条件是：当且仅当a＝b时取等号． 3．其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数． 二.利用基本不等式求最值问题 已知x＞0，y＞0，则 (1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)； (2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)． 例1. 已知，且，则的最大值是_________. 解析：2 所以，得， 当且仅当，即，时，等号成立. 例2.（多选）已知，且，则下列说法正确的是 A．的最小值为9 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为6 解析：因为，，所以，当且仅当，即，时等号成立，A正确； ，即，当且仅当，即，时等号成立，B错； ，当且仅当时等号成立，C正确； ，当且仅当时等号成立，D正确。故选ACD。 三．专项检测 A级——基础达标 1.已知，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 解析：（当且仅当时取“=”）．故选C． 2．若关于x的不等式(m＋1)x2－mx－1＞0的解集为(1,2)，则m＝(　　) A.　　　　　　B．－ C．－ D． 解析：选B　由题意，得解得m＝－.故选B 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 解析：B 对于A选项，若且，则，该选项错误； 对于D选项，取，，，，则，均满足，但，D选项错误； 对于C选项，取，，则满足，但，C选项错误； 对于B选项，由不等式的性质可知该选项正确. 4.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2]　　　　B．[－2,2] C．(－2,2] D．(－∞，－2) 解析　当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4<0，对一切x∈R恒成立． 当a≠2时，则 即解得－2<a<2.∴实数a的取