专题01集合与常用逻辑用语--2021-2022学年高一上学期数学人教A版2019必修第一册期末复习

集合与常用逻辑用语 一．构建知识框架 二．知识点复习 2.1集合的有关概念 1．集合元素的三大特性：确定性、无序性、互异性． 2．元素与集合的两种关系：属于，记为；不属于，记为. 3．集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． 4．五个特定的集合 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N*或N＋ 注意：(1)解题时，应注意检查集合的元素是否满足互异性； (2)N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*或N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0. 例1.已知集合，集合，则中所含元素的个数为（ ） A.3 B.6 C.8 D.10 【解析】由可知，必有；当时，；当时，或； 当时，或或；当时，或或或； 集合中的元素是有序数对，所有共有1+2+3+4=10个. 例2.(易错题)已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为(　　) A．－2 B．2 C．4 D．2或4 【解析】选A　若a＝2，则|a|＝2，不符合集合中元素的互异性，则a≠2； 若|a|＝2，则a＝2或－2，可知a＝2舍去，而当a＝－2时，a－2＝－4，符合题意；若a－2＝2，则a＝4，|a|＝4，不符合集合中元素的互异性，则a－2≠2. 综上，可知a＝－2.故选A. 2.2集合间的基本关系 表示 关系　　 文字语言 符号语言 记法 基本关系 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 x∈A⇒x∈B A⊆B或B⊇A 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A A⊆B，且∃x0∈B，x0∉A AB或BA 相等 集合A，B的元素完全相同 A⊆B，B⊆A A＝B 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 ∀x，x∉∅，∅⊆A 注意：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集，时刻关注对于空集的讨论． 例3.(易错题)已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________． 【解析】如图，在数轴上表示出A，B.因为A⊆B，所以a≤1. 例4.设全集U＝R，则集合M＝{0,1,2}和N＝{x|x·(x－2)·log2x＝0}的关系可表示为(　　) 【解析】因为N＝{x|x·(x－2)·log2x＝0}＝{1,2}，M＝{0,1,2}， 所以N是M的真子集．故选A. 2.3集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形表示 意义 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 性质 A∪∅＝A； A∪A＝A； A∪B＝B∪A A∩∅＝∅； A∩A＝A； A∩B＝B∩A A∪(∁UA)＝U； A∩(∁UA)＝∅； ∁U(∁UA)＝A 注意：Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补集运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心． 例5.已知集合则=（ ） A. B. C. D. 【解析】两个集合中的元素都是，因此答案选D 例6.已知集合，是否存在实数，使得？若存在，试求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【解析】由可得，所以有且， 所以或，即或或 当或时，集合中，不符合题意，舍去； 当时，集合中，也不符合题意，舍去； 当时，，满足题意. 综上，. 例7.学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？ 【解析】记28名参加比赛的学生构成的集合为， 参加游泳比赛的同学构成的集合为，参加田径比赛的同学构成的集合为， 参加球类比赛的同学构成的集合为， 由题意知，，， 故各集合间的关系可以用右图变式.由图可得， 于是有，故， 只参加游泳比赛的人数为15-3-3=9人. 2.4充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 p⇒ / q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且q p 注意：注意区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且BA)与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A B)两者的不同． 例8.“x＝－3”是“x