5.3.2 等比数列的前n项和-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册同步核心辅导与测评教师用书word（人教B版）

5.3.2　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和 1.理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导方法，重点培养逻辑推理核心素养. 2.掌握等比数列前n项和的性质并能利用等比数列的前n项和公式和性质解决有关问题，重点提升数学运算核心素养. 　等比数列的前n项和 1.已知数列1，21，22，23，… 如何求其前64项和S64＝1＋21＋22＋23＋…＋263? 提示：用2乘以等式的两边，得： 2S64＝21＋22＋23＋…＋263＋264， 作差得S64＝264－1. 2.参照1的求法，如何求等比数列{an}的前n项和Sn? 提示：设等比数列{an}的首项是a1，公比是q，前n项和Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1·qn－1，① 则qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1·qn－1＋a1·qn，② 由①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn， 当q≠1时，Sn＝， 当q＝1时，Sn＝na1. 等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、末项与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝ 在应用公式求和时，应注意到Sn＝的使用条件为q≠1，而当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1. 　等比数列前n项和的性质 　给定等比数列{an}：，，，…，，…完成下面问题. (1)设{an}的前n项和为Sn，Sn对应怎样的函数？ 提示：Sn＝＝＝－＋1， 所以Sn是由一个关于n的指数式与一个常数的和构成的. (2)计算S5，S10，S15，并判断S5，S10－S5，S15－S10之间的关系. 提示：S5＝＝－＋1， S10＝＝－＋1， S15＝＝－＋1， S10－S5＝－＝， S15－S10＝－＝， 所以＝＝， 故S5，S10－S5，S15－S10成等比数列. 　等比数列前n项和的性质 (1)Sn是数列{an}的前n项和，{an}是等比数列⇔Sn＝Aqn＋B且A＋B＝0(其中A，B，q都是常数A≠0，q≠1，q≠0). (2)等比数列 {an}中，若项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q. (3)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…成等比数列(当q＝－1，n为偶数时，该性质不成立)，公比为qn. 1.思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若某一数列的前n项和为Sn＝4·3n－1－4，则其必为等比数列.(　　) (2)若等比数列{an}的前n项和为Sn＝2·＋m，则m＝－2.(　　) (3)若{an}为等比数列，则S5，S10，S15仍然构成等比数列.(　　) (4)若an为等比数列，则a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9仍然构成等比数列.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2.等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项和是(　　) A.179　　　　B.211　　　　C.243　　　　D.275 解析：选B.S5＝. a5＝a1·q4，∴16＝81·q4，∴q＝. ∴S5＝＝211. 3.已知等比数列{an}的前n项和Sn＝4n＋a，则a＝________. 解析：因为等比数列{an}的前n项和为Sn＝4n＋a，则Sn－1＝4n－1＋a，则an＝Sn－Sn－1＝3·4n－1，所以a1＝3·40＝3＝4＋a，所以a＋1＝0，即a＝－1. 答案：－1 4.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若S4＝1，S8＝3，则S12＝________. 解析：由Sn为等比数列的前n项和， 所以(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)， 即(3－1)2＝1×(S12－3)，所以S12＝7. 答案：7 　等比数列前n项和的基本计算(小组探究) 　(本节例1、例2的改编)(1)若首项为1的等比数列{an}(n∈N*) 的前3项和为3，则公比q为________. (2)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. ①求{an}的通项公式； ②记Sn为{an}的前n项和.若Sm＝63，求m. 【尝试解答】　(1)当q＝1时，S3＝3a1＝3，符合题意； 当q≠1时，S3＝＝1＋q＋q2＝3， 解得q＝－2. 答案：－2或1 (2)①设{an}的公比为q，由题意an＝qn－1， 由a5＝4a3得q4＝4q2，∴q＝0(舍去)或q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1. ②若an＝(－2)n－1，则Sn＝， 由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解. 若an＝2n－1，则Sn＝2n－1， 由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6. 综上，m＝6. 等比数列前n项和公式的应用 (1)知三求二：在等比数列前n项和公式中，共有a1，an，q，n和Sn这五个量，已知其中任意三个，都可以求出另外两个. (2)两种思想：