5.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦等比数列前n项和公式这一核心知识点，前承等比数列通项公式，通过探索公式推导过程建立两者内在联系，为后续性质应用及实际问题解决提供学习支架。 以“甲、乙30天资金往来”情境引入，培养用数学眼光观察现实世界的意识，通过基本运算、性质探究、实际应用题型分层设计，发展数学思维中的逻辑推理与数学运算能力，结合剪纸、两鼠穿墙实例强化数学语言表达，课中助力教师高效授课，课后通过跟踪训练帮助学生查漏补缺。

5.3.2　等比数列的前n项和 第一课时　等比数列的前n项和公式 【基础落实】 知识点 na1　　na1　 想一想 1.提示：公比q≠1. 2.提示：若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数列，所以前n项和为Sn＝na. 3.提示：是.根据等比数列前n项和公式Sn＝（q≠0且q≠1）变形为Sn＝－qn（q≠0且q≠1）， 若令a＝，则和式可变形为Sn＝a－aqn. 自我诊断 1.A　由S5＝＝44，得a1＝4. 2.C　显然q≠1，等比数列前n项和公式为Sn＝＝－qn＋.因为Sn＝a·2n－4为等比数列的前n项和，所以a＝4，所以Sn＝4·2n－4，所以a1＝S1＝4×2－4＝4.故选C. 3.　解析：因为a1＝1，q＝2，所以an＝1×2n－1，所以＝（ ）n－1，所以＋＋…＋＝＝. 【典例研析】 【例1】　解：（1）显然q≠1，由Sn＝，即＝， ∴q＝.又∵an＝a1qn－1，即8×＝，∴n＝6. （2）法一　由S6≠2S3知q≠1，由题意得 ②÷①，得1＋q3＝9，∴q3＝8，即q＝2. 代入①得a1＝. 法二　由S3＝a1＋a2＋a3，S6＝S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋q3（a1＋a2＋a3）＝S3＋q3S3＝（1＋q3）S3， ∴1＋q3＝＝9，∴q3＝8，即q＝2. 代入＝，得a1＝. 母题探究 1.解：由本例（2）知a1＝，q＝2， 所以an＝a1qn－1＝·2n－1＝2n－2，Sn＝＝2n－1－. 2.解：设等比数列{an}的公比为q，则由S6≠2S3得q≠1，则解得q＝2，a1＝. 跟踪训练 解：法一　由题意，得 化简得 ①÷②，得q2－1＝±3，负值舍去，∴q2＝4，∴q＝2或q＝－2. 当q＝2时，代入①得a1＝1，∴S8＝＝255. 当q＝－2时，代入①得a1＝－1.∴S8＝＝. 综上知S8＝255或S8＝. 法二　由等比数列的性质得a3·a5＝＝64，∴a4＝±8. 当a4＝8时，∵a6－a4＝24，∴a6＝32，∴q2＝＝4，∴q＝±2. 当a4＝－8时，a6－a4＝24，∴a6＝16. ∴q2＝＝－2，无解.故q＝±2. 当q＝2时，a1＝＝1，S8＝＝255. 当q＝－2时，a1＝＝－1，S8＝＝. 综上知S8＝255或S8＝. 【例2】　63　解析：法一　设公比为q，由已知易知q≠1，由可得所以S3n＝＝·[1－（qn）3]＝64×＝63. 法二　由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，得（S2n－Sn）2＝Sn·（S3n－S2n），即（60－48）2＝48（S3n－60），解得S3n＝63. 跟踪训练 1.B　法一　设数列{an}的公比为q，所以S6＝S3＋q3S3，S9＝S6＋q6S3＝S3＋q3S3＋q6S3，于是＝＝3，即1＋q3＝3，所以q3＝2.于是＝＝＝. 法二　由＝3，得S6＝3S3.设数列{an}的公比为q，由题意知q≠－1，所以S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，所以（S6－S3）2＝S3（S9－S6），解得S9＝7S3，所以＝. 2.　解析：设数列{an}共有2m＋1项，由题意得S奇＝a1＋a3＋…＋a2m＋1＝，S偶＝a2＋a4＋…＋a2m＝，则S奇＝a1＋a2q＋…＋a2mq＝2＋q（a2＋a4＋…＋a2m）＝2＋q＝，解得q＝. 【例3】　（4－π）（ 1－） 解析：设☉On的半径为Rn，则R1＝， ☉On＋1的半径为Rn，即Rn＋1＝·Rn，故Rn＝R1（ ）n－1＝（ ）n＝（ . 又第n次裁剪操作的正方形边长为2Rn＝（ ， 故第n次裁剪操作裁剪掉的面积为（ －π×（ ＝（ ）n－2－π×（ ）n ＝－＝， 所以第n次裁剪操作后，裁剪掉的面积之和为 （4－π）（ ＋＋…＋）＝（4－π）·（ 1－）， 所以第2 026次操作后，所有被裁剪部分的面积之和为（4－π）（ 1－）. 跟踪训练 2n－＋1　解析：由题意可知，大老鼠每天打洞的长度构成以1为首项，2为公比的等比数列，前n天打洞长度之和为＝2n－1，小老鼠每天打洞的长度构成以1为首项，为公比的等比数列，前n天打洞长度之和为＝2－，所以Sn＝2n－1＋2－＝2n－＋1. 随堂检测 1.C　由题意知 解得∴ a3＝a1q2＝4.故选C. 2.A　设等比数列{an}的公比为q，由S4＝4，S8＝16，得a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝12，因此q4＝＝3，所以a9＋a10＋a11＋a12＝q4（a5＋a6＋a7＋a8）＝36.故选A. 3.C　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由a5＝2a3，即a1q4＝2a1q2，解得q2＝2.所以＝＝＝＝7.故选C. 4.C　由数列{an}的前n项和Sn＝3n＋k（n∈N＋），当n＝1时，a1＝S1＝3＋k；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋k－（3n－1＋k）＝2×3n－1.因为数列{an}是公比为3的等比数列，所以a1＝2×31－1＝3＋k，解得k＝－1. 5.解：（1）由题意知 解得或 从而Sn＝×5n＋1－或Sn＝. （2）∵等比数列{an}中，a1＝3，an＝96，Sn＝189， ∴＝189.∴q＝2. ∴an＝a1qn－1＝3×2n－1，∴96＝3×2n－1，∴n＝5＋1＝6. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3.2　等比数列的前n项和 课标要求 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系（数学运算）. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题（逻辑推理、数学运算）. 第一课时　等比数列的前n项和公式 　　 　　甲、乙二人约定在一个月（按30天）内甲每天给乙100元钱，而乙则第一天给甲返还一分，第二天给甲返还二分，即后一天返还的钱是前一天的二倍. 【问题】　一个月后，甲、乙两人谁赢谁亏？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　等比数列的前n项和公式 【想一想】 1.等比数列的前n项和公式中Sn＝的适用条件是什么？ 2.若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和Sn为何值？ 3.若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a（a≠0，q≠0且q≠1，n∈N＋），则此数列一定是等比数列吗？ 1.等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为（　　） A.4　　　　　　　　B.－4 C.2 D.－2 2.记等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝a·2n－4，则a1＝（　　） A.1 B.2 C.4 D.8 3.在等比数列{an}中，a1＝1，q＝2，则＋＋…＋＝　　　　. 题型一｜等比数列的前n项和公式的基本运算 【例1】　在等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn. （1）已知a1＝8，an＝，Sn＝，求n； （2）已知S3＝，S6＝，求a1与q. 尝试解答 【母题探究】 1.（变设问）本例（2）条件不变，试求an与Sn. 2.（变条件）若本例（2）中的条件“S3＝，S6＝”变为“S3＝，S6＝”，其他条件不变，结果又如何呢？ 通性通法 　　在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的.这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用. 【跟踪训练】 　在等比数列{an}中，已知a6－a4＝24，a3·a5＝64，求S8. 题型二｜等比数列前n项和的性质 【例2】　等比数列{an}的前n项和Sn＝48，前2n项和S2n＝60，则前3n项和S3n＝　　　　. 尝试解答 通性通法 1.等比数列前n项和的性质 　　设等比数列{an}，Sn为{an}的前n项和，公比为q，则： （1）当q＝1时，＝；当q≠±1时，＝； （2）Sn＋m＝Sm＋qmSn＝Sn＋qnSm； （3）设S偶与S奇分别是偶数项的和与奇数项的和.若项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q； （4）当q≠－1时，连续n项的和（如Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…）仍构成等比数列（公比为qn，n≥2）. 2.运用等比数列求和性质解题时，一定要注意性质成立的条件，否则会出现失误.如Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列的前提是Sn，S2n－Sn，S3n－S2n均不为0. 【跟踪训练】 1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝（　　） A.2　　　　　　　　B. C. D.3 2.等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝　　　　. 题型三｜等比数列前n项和的实际应用 【例3】　中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹， 用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.剪纸具有广泛的群众基础， 交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分.其传承赓续的视觉形象和造型格式， 蕴涵了丰富的文化历史信息.已知某剪纸的裁剪工艺如下： 取一张半径为1的圆形纸片，记为☉O，在☉O内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为☉O1，并裁剪去该正方形与内切圆之间的部分 （如图所示阴影部分），记为一次裁剪操作，…，重复上述裁剪操作n次，最终得到该剪纸，则第2 026次操作后，所有被裁剪部分的面积之和为　　　　. 尝试解答 通性通法 解数列应用题的思路和方法 【跟踪训练】 　《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”的问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问几何日相逢？各穿几何？”其大意为：“今有一堵墙厚5尺，两只老鼠从墙的两边沿一条直线相对打洞穿墙，大老鼠第一天打洞1尺，以后每天是前一天的2倍；小老鼠第一天也打洞1尺，以后每天是前一天的.问大、小老鼠几天后相遇？各自打洞几尺？”如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则Sn＝　　　　尺. 1.已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝（　　） A.16　　　　　　　　B.8 C.4 D.2 2.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝4，S8＝16，则a9＋a10＋a11＋a12＝（　　） A.36 B.32 C.24 D.16 3.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a5＝2a3，则＝（　　） A.5 B.6 C.7 D.8 4.已知数列{an}是公比为3的等比数列，其前n项和Sn＝3n＋k（n∈N＋），则实数k为（　　） A.0 B.1 C.－1 D.2 5.在等比数列{an}中，其前n项和为Sn. （1）若S2＝30，S3＝155，求Sn； （2）若Sn＝189，a1＝3，an＝96，求q和n. 提示：完成课后作业　第五章　5.3　5.3.2　第一课时 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $