5.3.1 等比数列-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册同步核心辅导与测评教师用书word（人教B版）

5.3.1　等比数列 第1课时　等比数列的定义 1.理解等比数列的定义，会用定义判断等比数列，重点培养数学抽象逻辑推理核心素养. 2.会推导等比数列的通项公式，并能运用公式解决相关问题，重点提升数学运算核心素养. 　等比数列的定义 观察下面几个数列：①3，9，27，81，243，…；②1，，，，，…；③，，，，，…；④1，－2，4，－8，16，…. 思考：(1)这些数列是等差数列吗？(2)除等差数列外这几个数列的共同特征是什么？ 提示：(1)③是等差数列，其余都不是等差数列；(2)这些数列的共同特点是从第2项起，每一项与它的前一项的比都是同一个常数. 等比数列的定义 一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q ，即 ＝q 恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比. 1.“从第2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项. 2.“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”. 3.“同一常数q”，q是等比数列的公比，即q＝(n≥2)或q＝.特别注意，q不可以为零，当q＝1时，等比数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列. 4.等比数列中的任何一项均不能为零. 5.等比数列的公比可以是正数、负数，但不能为零. 　等比数列的通项公式 1.根据等比数列的定义，类比等差数列通项公式的推导方法，如何推导出等比数列的通项公式？ 提示：由等比数列的定义， a1＝a1，a2＝a1·q1，a3＝a1·q2，…，an＝a1·qn－1. 2.要想确定等比数列的通项公式，需要具备哪几个条件？ 提示：由等比数列的通项公式an＝a1qn－1，要确定其通项公式，必须知道a1，q两个条件. 等比数列{an}的公比为q，其通项公式为 an＝a1·qn－1. 等比数列与指数函数的关系： 等比数列的通项公式an＝a1qn－1＝×qn，记f(x)＝×qx，则an＝f(n)，而且 (1)当公比q＝1时，f(x)是常数函数，此时数列an}是常数列(因此，公比为1的等比数列是常数列)； (2)当公比q≠1时，f(x)是与y＝qx的乘积，此时，f(x)的增减性既与a1有关，也与q有关. 1.思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果一个数列的每一项与它的前一项的比是一个常数，那么这个数列是等比数列.(　　) (2)若数列{an}的通项公式是an＝cqn(c，q∈R，c≠0，q≠0)，则{an}一定是等比数列.(　　) (3)常数列a，a，a，a，…一定是等比数列.(　　) (4)若数列{an}对任意n∈N*都有an＋1＝2an，则{an}一定是等比数列.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2.在等比数列{an}中，a1＝12，a2＝24，则a3＝(　　) A.36　　　　B.48　　　　C.60　　　　D.72 解析：选B.a2＝a1q＝12q＝24，∴q＝2. ∴a3＝a1q2＝12×22＝48. 3.在等比数列{an}中，若a3＝3，a7＝12，则a5＝________. 解析：a＝a3a7＝36，又a5＝a3q2>0， ∴a5＝6. 答案：6 4.设数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝________. 解析：由a1＝1，q＝－2， 故a2＝a1q＝－2， a3＝a2q＝4，a4＝a3q＝－8， 所以a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋2＋4＋8＝15. 答案：15 　等比数列基本量的计算(小组探究) 　(本节例2、例5迁移)在等比数列{an}中， (1)a4＝2，a7＝8，求an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 【尝试解答】　设首项为a1，公比为q. (1)解法一　因为所以 由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2， 于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2. 解法二　因为a7＝a4q3，所以q3＝4，q＝. 所以an＝a4qn－4＝2·()n－4＝2. (2)因为 由得q＝，从而a1＝32，又an＝1， 所以32×＝1，即26－n＝20，所以n＝6. 1.等比数列的基本量是a1和q，很多等比数列问题都可以归结为其基本量的运算问题，解决这类问题时，最核心的思想方法是解方程(组)的方法，即依据题目条件，先根据等比数列的通项公式建立关于a1和q的方程(组)，再解方程(组)，求得a1和q的值，最后解决其他问题. 2.在等比数列的基本量运算问题中，建立方程(组)进行求解时，要注意运算的技巧性，特别注意整体思想的应用. 1.(1)在等比数列{an}中，如果a6＝6，a9＝9，那么a3为(　　) A.4　　　　B.　　　　C.　　　　D.2 (2)已知等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a4＋a5＝－8，则公比q＝(　　)