5.2.1 等差数列-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册同步核心辅导与测评教师用书word（人教B版）

5.2.1　等差数列 第1课时　等差数列的定义 1.通过实例，理解等差数列的定义并能应用，重点培养数学抽象核心素养. 2.会推导等差数列的通项公式，能运用通项公式解决相关问题，重点提升数学运算、逻辑推理核心素养. 　 　等差数列的定义 1.观察下面几个数列，思考每个数列从第二项起每一项与前一项的差是否都相等？ (1)2，4，6，8，10，12，…； (2)1，1，1，1，1，1，…； (3)1，3，5，7，9，11，…. 提示：观察这三个实例可以看出，(1)(3)中的差都是2，(2)中的差是0.因此上述几个数列从第二项起每一项与前一项的差都相等. 2.在问题1的基础上，你能用数学符号表示它们之间的关系吗？ 提示：可表示为an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*). 等差数列的定义 一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即 an＋1－an＝d 恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的公差. 等差数列概念的理解： (1)定义中强调“从第2项起”，因为第1项没有前一项； (2)每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等差数列的基本特征)； (3)公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒； (4)公差可以是正数、负数、零. 　等差数列的通项公式 　给出等差数列{an}：1，4，7，10，13，…，请根据下列两种思路探求其通项公式： (1)根据等差数列的定义，{an}的递推公式可以如何表示？利用累加法能否求得{an}的通项公式？ (2)根据等差数列的定义，能否将{an}的各项都利用首项和公差表示出来？由此归纳{an}的通项公式. 提示：(1){an}的递推公式是a1＝1，an－an－1＝3(n≥2)，累加可得an＝3n－2. (2)a1＝1，a2＝a1＋3，a3＝a2＋3＝a1＋2×3，…，an＝a1＋(n－1)·3. 1.等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d. 2.等差数列与一次函数的关系 (1)等差数列an＝dn＋(a1－d)的图像是直线y＝dx＋(a1－d)上的均匀分布的一群孤立的点. (2)d＝(n>1)的几何意义即直线y＝dx＋(a1－d)的斜率. (3)等差数列{an}的单调性与公差d的关系： ①d＝0⇔{an}是常数列； ②d>0⇔{an}是递增数列； ③d<0⇔{an}是递减数列. 1.思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若数列{an}满足an－an－1＝d(d是常数)，则{an}是等差数列.(　　) (2)若数列{an}的通项公式是an＝kn＋b(k，b∈R)，则{an}一定是等差数列.(　　) (3)等差数列{an}公差为d，则d<0⇔{an}递增.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 2.已知等差数列{an}的通项公式为an＝2n－1，则它的公差为(　　) A.2　　　　B.－2　　　　C.3　　　　D.－3 解析：选A.d＝an－an－1＝(2n－1)－[2(n－1)－1]＝2. 3.已知等差数列{an}满足a1＋a2＝3，d＝1，则an＝________. 解析：因为a1＋a1＋d＝3，又d＝1， 所以a1＝1，故an＝a1＋(n－1)d＝n. 答案：n 4.已知等差数列{an}的前3项依次是x－1，x＋1，2x＋3，则其通项公式为________. 解析：由题意得2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，故x＝0. 所以a1＝－1，d＝a2－a1＝1－(－1)＝2. 故an＝a1＋(n－1)d＝－1＋2(n－1)＝2n－3. 答案：an＝2n－3 　等差数列通项公式的应用(变通　探究) 　(本节例1、例2、例5迁移)已知等差数列{an}中，a1<a2<a3<…<an且a3，a6为方程x2－10x＋16＝0的两个实根. (1)求此数列{an}的通项公式； (2)268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由. 【尝试解答】　(1)因为 即且a1<a2<…<an， 解得故an＝－2＋2(n－1)＝2n－4. (2)268是此数列中的项.令an＝2n－4＝268得2n＝272，故n＝136. 因此268是此数列中的第136项. 【一题多变】 1.本例条件不变，试问289是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由. 解：　由本例(1)知an＝2n－4， 令an＝2n－4＝289，得n＝，不是整数. 故an＝289无正整数解. 所以289不是此数列中的项. 2.本例中“a1<a2<a3<…<an”若换为“a1>a2>a3>…>an”，其他条件不变，其结论又如何呢？ 解：　(1)因为且a1>a2>…>an， 所以故 所以 故an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋14. (2)26