第3讲 组合(考点定位精讲讲练)-2021-2022学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020选修第二册）

第3讲 组合考点定位精讲讲练 1、组合数： 从个不同元素中取出()个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符合表示. 组合数公式为 ,规定 . 组合数公式有两种形式，(1)乘积形式；(2)阶乘形式.前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式。 2、组合数的性质： 性质一：C=C ①等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标. ②此性质作用：当时，计算可变为计算，能够使运算简化. 例如＝＝=2016. ③或． 性质二、=+ ①等式特点：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数． ②此性质作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用． ③证明过程： . 3、组合问题常见解题方法： （1）注意“至少”、“最多”、“含”等词； （2）区分“分配”与“分组”：“分组问题”的特征是组与组之间只要元素个数相同是不可区分的，即指把物件分成组，是无顺序可言的；而“分配”问题即使元素个数相同，但因人不同，仍然是可区分的，或者是指把物件分给不同的人（或团体），是有顺序的，解分配问题必须先分组后排列，若平均分组，则分法取法/ （3）隔板分组法：常常用于解决一类相同元素分给不同对象的分配问题. （4）分排问题直排处理； （5）“小集团”排列问题中先集体后局部处理； （6）定序问题除法处理：即先不考虑顺序限制，排列后在除以定序元素的全排列. 考点一：组合数及其运算性质 【例1】解方程（1） （2） 【难度】★★ 【答案】（1）4；（2）14 【解析】（1）， ， ， ，或（舍）。 （2）两边同时乘以可得 解得n=14，或n=-1（舍） 【例2】计算下列各式的值： （1） ；（2）； （3） 【难度】★★ 【答案】（1）32；（2）56（3） 【解析】（1）略（2）略 （3） 法一：利用组合数性质，原式可化为： 法二：将原式第一项补上一个，然后利用倒序相加法也可得到结果。 【例3】已知，求、的值． 【难度】★★ 【答案】 【例4】已知的解集是 ． 【难度】★★ 【答案】 【例5】（1）求 的值； （2）设m，nN*，n≥m，求证： （m+1）+（m+2）+（m+3）+…+n+（n+1）=（m+1）． 【难度】★★★ 【答案】（1）0（2）见解析 【解析】（1） （2）当时，结论显然成立，当时 又因为 所以因此 【巩固训练】 1．组合数 ． 【难度】★ 【答案】5或16 2．计算的值． 【难度】★★ 【答案】466 【解析】注意到中的隐含条件：n≥m，m∈N，n∈N*，有 解得，所以n＝10． 所以， 3．下列等式中正确的是( ) (1)； (2)； (3)； (4)． A．(1)(2) B．(1)(2)(3) C．(1)(3) D．(2)(3)(4) 【难度】★★ 【答案】B 4．组合数（，、）恒等于( ) A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】D 考点二：常见组合问题解题策略 1、组合的一般应用 【例1】3个一样的白色小球和4个一样的黑色小球排成一排，有多少种不同的排法？ 【难度】★★ 【答案】35 【解析】不妨先放置7个同样的白色小球，再从中换取4个放入黑色小球，所得的排列方式和题中所描述的问题一样，故排列的总数为． 【例2】古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有 种（结果用数值表示）． 【难度】★★ 【答案】10 【解析】不妨设5个位置为1，2，3，4，5，3号位随意放入一个物质，有种选法； 不妨设为火，则金，水都只能选择1号位或者5号位，共有种选择，剩下的木，土都别无选择．方法数共有． 【例3】马路上有12盏灯，为了节约用电，可以熄灭其中3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，那么熄灯方法共有______种． 【难度】★★ 【答案】56 【解析】去掉两段的灯，中间有10盏灯，在7盏亮着的灯中有8个空位，插入3盏熄灭的灯即 【例4】在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱 歌2人伴舞的节目,有多少选派方法． 【难度】★★ 【答案】199 【解析】10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究 只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有种，由分类计数原理共有 种。 2、分组及分堆问题 【例1】6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：