第2讲 排列(考点定位精讲讲练)-2021-2022学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020选修第二册）

第2讲 排列考点定位精讲讲练 1、排列： 一般地，从个不同元素中取出()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。 老师在给学生讲解排列概念时，一定要注意强调以下几点：（1）元素不能重复。个中不能重复，个中也不能重复；（2）“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键；（3）两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。 2、排列数： 从个不同的元素中取出()个元素的所有排列的个数，叫做从个不同的元素中取出个元素的排列数。用符号表示。 这里老师可以让学生思考：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？ “一个排列”是指：从个不同元素中，任取个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数； “排列数”是指从个不同元素中，任取个元素的所有排列的个数，是一个数；所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列。 3、排列数公式： 当时，，正整数1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示。 规定0！=1。 对于这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。 4、附有限制条件的排列 （1）对附有限制条件的排列，思考问题的原则是优先考虑受限制的元素或受限制的位置. （2）对下列附有限制条件的排列，要掌握基本的思考方法： 元素在某一位置或元素不在某一位置，从该元素入手； 元素相邻——捆绑法，即把相邻元素看成一个元素； 元素不相邻——插空法； 比某一数大或比某一数小的问题主要考虑首位或前几位. （3）对附有限制条件的排列要掌握正向思考问题的方法——直接法；同时要掌握一些问题的逆向思考问题的方向——间接法. 考点一:排列数及其性质 【例1】解方程：． 【难度】★★ 【答案】6 【解析】， ， ， ，或（负舍）。 【例2】与的大小关系是（ ） A． B． C． D．大小关系不确定 【难度】★★ 【答案】D 【解析】，知当时，大于，当时，小于，故选D 【例3】满足的____． 【难度】★★ 【答案】8 【解析】得，又，故 【巩固训练】 1．对于满足的正整数，（ ） A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】C 【解析】根据组合数公式可得或者取特殊值均可。 2.求证： 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】 =得证。 考点二：常见排列问题的解题策略 1、特殊元素特殊位置优先考虑 【例1】用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成无重复数字的四位偶数____个． 【难度】★★ 【答案】156 【解析】主要采用特殊元素或特殊位置优先考虑的原则进行分类；当各位数字为0的时候共有个偶数，当各位数字不是0，个位数有2种选择，千位数有4种选择，故一共有个偶数，故共有156个偶数满足条件。 【例2】某班5位同学参加周一到周五的值日，每天安排一名学生，其中学生甲只能安排到周一或周二，学生乙不能安排在周五，则他们不同的值日安排有（ ） A．288种 B．72种 C．42种 D．36种 【难度】★★ 【答案】D 【解析】甲有种安排，甲排好后，乙有种，然后剩下的人有种，共种 【例3】2位男生和3位女生共5位同学站成一排．若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为 （ ） A．36 B．42 C． 48  D．60 【难度】★★ 【答案】C 【解析】不妨将5个位置从左到右编号为1，2，3，4，5．于是甲只能位于2，3，4号位． i） 当甲位于2号位时，3位女生必须分别位于1，3，4位或者1，4，5位．于是相应的排法总数为； ii） 当甲位于3号位时，3位女生必须分别位于1，2，4位或者1，2，5位或者1，4，5或者2，4，5位．于是相应的排法总数为． iii） 当甲位于4号位时，情形与i）相同．排法总数为． 综上，知本题所有的排法数为12+24+12=48． 2、捆绑法 【例1】有8本不同的书，其中数学书3本，外文书2本，其他书3本，若将这些书连排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排成一起的排法有 种排法。 【难度】★★ 【答案】1440 【解析】捆绑法； 【例2】4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？ 【难度】★★ 【答案】576 【解析】先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有种排法， 而男生之间又有种排法，又乘法原理满足条件的排法有：． 【例3】停车站划出一排个停车位置，今有辆不同型号的车需要停放，若要求剩余的个空车位连在一起，则不同的停车方法共有__________种． 【难度】★★ 【答案】362880 【解析】先将辆车全排有种， 再将个空车位看成整体插入辆车形成的个空档中