专题01 排列组合十大题型（高效培优专项训练）数学沪教版选择性必修第二册

专题01 排列组合十大题型 题型一：排列数与组合数的计算 题型二：相邻问题与不相邻问题 题型三：定序问题与环形问题 题型四：特殊元素与特殊位置问题（排队、排数） 题型五：多面手问题 题型六：分组分配问题 题型七：相同元素问题 题型八：涂色问题 题型九：几何问题 题型十：概率问题 题型一：排列数与组合数的计算 1．若为正整数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排列数的含义可求答案. 【详解】因为表示共有9个因式的乘积， 所以， 故选：D 2．若排列数，则 . 【答案】 【分析】根据排列数公式来求解的值. 【详解】排列数公式为， 这里 对比公式可看出. 故答案为：3. 3．关于正整数的方程是，则 ． 【答案】5 【分析】根据排列数的计算公式即可求解. 【详解】由得，， ∴，即，解得或， ∵，∴. 故答案为：5. 4．若 为正整数，则不等式 的解集是 【答案】 【分析】利用组合数公式，结合一元二次不等式求解即得. 【详解】 化为，即.解得，因为，则.故原不等式的解集为. 故答案为：. 5．（1）解方程：； （2）求关于的不等式的解集. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）借助排列数公式计算即可得； （2）借助组合数公式计算即可得. 【详解】（1）， 即，则或， 由，即，故； （2），， 则有，化简得， 即， 解得，又，故， 即该不等式的解集为. 6．（1）求满足方程的整数的值. （2）求满足不等式的整数的值. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）（2）应用排列组合数公式及已知方程和不等式求参数值. 【详解】（1）由题设，且， 则，整理得， 所以或（不是整数，舍）. （2）由题设且， 所以，可得， 综上，整数的值为或. 题型二：相邻问题与不相邻问题 7．若将5名男生和3名女生排成一排，则3名女生相邻的不同排法种数为（    ） A．4680 B．4320 C．3640 D．3860 【答案】B 【分析】把3名女生看作一个整体，再与5名男生共6个元素进行全排列，最后根据分步乘法计数原理计算即可. 【详解】将3名女生看成一个整体，再和5名男生进行全排列，有种排法， 因为3名女生内部顺序可以调整，所以共有种不同的排法． 故选：B. 8．某人计划到山东旅游，打算用连续5天时间游玩泰山、崂山、蓬莱阁3个景点，其中泰山、崂山2个景点分别安排连续的两天游玩，则不同的日程安排种数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】利用分步计数原理即可求解. 【详解】首先考虑蓬莱阁的游玩，可能安排在第1天或第3天或第5天，所以共有种不同的日程安排． 故选：D 9．马路上有依次编号为1，2，3，…，10的10盏路灯，为节约用电，某个时间段可以把其中的3盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，而且两端的灯也不能关掉，则满足条件的不同关灯方法有（   ） A．20种 B．120种 C．56种 D．60种 【答案】A 【分析】先让两端的两盏灯亮着，再点亮中间8盏中的5盏，5盏灯有6个空，利用插空法即可求解. 【详解】让两端的两盏灯亮着，再点亮中间8盏中的5盏， 5盏灯有6个空格，从6个空格中随机的选3个空格，因为灯是没有顺序的，所以共有种， 故选：A. 10．某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（   ） A．24种 B．36种 C．72种 D．144种 【答案】D 【分析】甲班的2名同学相邻，用“捆绑法”，乙班的2名同学不相邻，用“插空法”，再根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】第一步，将甲班的2人捆绑，连同丙班的2人作全排列，有种站法； 第二步，将乙班的2人插入前后4个空档，有种站法. 根据分步乘法计数原理，不同的站法共有种. 故选：D. 11．6名同学排成一排，已知甲与乙不相邻，则丙与丁必须相邻的概率是 ． 【答案】/0.3 【分析】记事件甲与乙不相邻，记事件丙与丁相邻，求出、，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】依题意，6名同学排成一排，记事件甲与乙不相邻，则， 记事件丙与丁相邻，则， 由条件概率公式可得. 所以在甲与乙不相邻的条件下，丙与丁相邻的概率为. 故答案为：. 题型三：定序问题与环形问题 12．某学校图书室内，有10位同学围着一张圆桌坐成一圈，共有多少种不同的坐法（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将10人排成1列，随后安排第1人就座，据此可得排法总数. 【详解】将10人排成1列，有种方法，安排第1人坐下，有10种可能性，但因是围着一张圆桌坐成一圈，第1人坐不同位置没有区别，则总排法数为：. 故选：B 13．甲､乙等6人围成一圈，且甲､乙两人相邻，则不同的排法共有（    ） A．6种 B．12种 C．24种 D．48种 【答案】D 【分析】根据环状排列的计算方法，结合元素相邻的计算方法求解. 【详解】因为由于环状排列没有首尾之分，将个不同元素围成的环状排列剪开看成个元素排成一排，即共有种排法， 由于个不同元素共有种不同的剪法，则环状排列共有种排法. 甲､乙两人相邻而坐，可将此2人当作1人看，即5人围一圆桌，有种坐法， 又因为甲､乙2人可换位，有种坐法，故所求坐法为种. 故选：D 14．“圆排列”亦称“循环排列”“环排列”，最早出现在中国《易经》的四象八卦组合.当A，B，C三位同学围成一个圆时，其中一个排列“ABC”与该排列旋转一个或几个位置得到的排列“BCA”或“CAB”是同一个排列，现有六位同学围成一个圆做游戏，其排列总数为 .（用数字作答） 【答案】120 【分析】由条件中所举的3个人的“环排列”，确定“环排列”的公式，即可求解. 【详解】三位同学围成一个圆，“”“”或“”是同一排列，其中每一个圆排列可以拆成任意一位同学为首的直线排列3个.三位同学围成一个圆的排列总数为，由此可得六位同学围成一个圆的排列总数为. 故答案为： 15．某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为 ． 【答案】30 【分析】根据排列中的定序问题的处理方法计算求解. 【详解】6位同学排成一排准备照相时，共有种排法， 如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有种排法. 故答案为：30 16．6名同学相约去游乐场游玩，进场时按顺序验票，则甲、乙、丙按顺序进场的不同情况有 种;进场后他们选定了3个游玩项目，每人都只玩1个项目，且每个项目都有人玩，则A项目恰有2个人游玩的不同分配方法有 种.(请用数字作答) 【答案】 120 210 【分析】（1）用定序问题即可求解. （2）利用分组分配即可求解. 【详解】甲、乙、丙按顺序进场的不同情况有=120种， A项目恰有2人游玩的组合有(+)=210种. 故答案为：；. 题型四：特殊元素与特殊位置问题（排队、排数） 17．2025年11月9日至21日，第十五届全运会在广东、香港、澳门三地举办.在全运会的火炬传递中，某路段的传递活动由，，，，，共六名火炬手分五棒完成，若第一棒火炬手只能从，中产生，最后一棒由两名火炬手共同完成，且，两名火炬手不能共同完成最后一棒，则不同的传递方案种数为（   ） A．54 B．60 C．102 D．114 【答案】D 【分析】分火炬手完成第一棒和火炬手完成第一棒两种情况讨论即可求解. 【详解】当火炬手完成第一棒时，有种不同的传递方案； 当火炬手完成第一棒时，有种不同的传递方案， 故共有种不同的传递方案. 故选：D. 18．如图所示，某学校进行“大脚板”趣味运动，需要八名同学一起团结协作，统一步调才能前进．甲同学作为队长需要喊口令，故只能站在最中间的两个位置之一，方便前后的同学都清晰地听到口令．乙、丙两位同学经验较为丰富所以站在最前或最后面，则这八位同学一共有多少种站位方式（   ） A．240 B．480 C．720 D．960 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用有位置关系的排列问题，结合分步乘法计数原理列式求解. 【详解】让甲站位有种方法，再让乙丙站位有种方法，最后排余下5人，有种方法， 由分步乘法计数原理得， 所以这八位同学一共有480种站位方式. 故选：B 19．某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？ 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）先排两头的唱歌节目，再排中间的5个节目，即可得解； （2）第一步，先将2个唱歌节目全排列，再将这2个唱歌节目看成一个整体，第二步，先将3个舞蹈节目全排列，再将这3个舞蹈节目看成一个整体，第三步，把这两个整体进行全排列，此时这两个整体的全排列，形成3个空，将2个小品节目插入这3个空中，即可得解； （3）先将7个节目进行全排列，再由3个舞蹈节目出场顺序固定，就是7个节目的全排列数除以3个舞蹈节目的全排列数，即为所求. 【详解】（1）2个唱歌节目排在两头，先排两头的唱歌节目，有种，再排中间的5个节目，有种， 则唱歌节目排在两头，有种排法； （2）2个唱歌节目全排列，排法有种，将这2个唱歌节目看成一个整体， 3个舞蹈节目全排列，排法有种，将这3个舞蹈节目看成一个整体， 把这两个整体进行全排列，排法有种，此时这两个整体的全排列，形成3个空， 将2个小品节目插入这3个空中，排法有种， 则唱歌节目，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻， 有种； （3）7个节目进行全排列，排法有种，3个舞蹈节目出场顺序固定，则不同的排法有种. 20．甲乙丙丁戊五人排队，要求甲乙不相邻且甲不能站在首位，共有多少种站法？ 【答案】54 【分析】根据甲在中间三个位置以及最后一个位置，结合排列组合，即可由计数原理求解． 【详解】①若甲在第2，3，4位置中选择一个位置安排甲，有种选择， 接下来安排乙，则有种方法， 再安排剩余三个人，有种方法， 故一共有种方法， ②若甲在最后一位，则乙可以在前三个位置中任选一个，有种方法， 其余三人全排列，有种方法，则有种方法， 因此一共有． 答：共有54种站法． 21．用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的五位数． (1)比20000大的五位偶数共有多少个； (2)从小到大排列所有的五位数，问35214是第几位？ (3)能被6整除的五位数有多少个． 【答案】(1)240 (2)352 (3)108 【分析】（1）分首位是2，4，3，5四种情况，得到每种情况下的结果数，相加即可； （2）分首位数字为1、2和3，求出相应的比35214小的个数，从而得到答案； （3）能被3整除，则各位数字之和必须能被3整除，分2种情况，结合须为偶数，分类讨论，求出每种情况下的个数，相加即可. 【详解】（1）根据题意，符合题意的五位数的首位只能是2，3，4，5，共4种可能， 末位数字必须是0、2或4； 当首位是2时，末位是4或0，有种结果，当首位是4时，同样有48种结果， 当首位是3或5时，末位数字必须是0、2或4，共有种结果， 综上，可知共有种结果，即比20000大的五位偶数有个； （2）根据题意，当五位数首位数字为1、2时，有个数， 当首位数字为3，第2位数字为0、1、2、4时，有个数， 当首位数字为3，第2位数字为，第3位数字为0、1时，有个数， 当首位数字为3，第2位数字为5，第3位数字为2，十位数字为0时，有2个数， 当首位数字为3，第2位数字为5，第3位数字为2，十位数字为1时，比35214小的还有35210，1个数； 则比35214小的五位数有个，故35214是第位； （3）根据题意，被6整除的数必须是既能被2整除，也能被3整除， 若能被3整除，则各位数字之和必须能被3整除，有2种情况， ①当五个数字由、、、、组成时，其末位数字为、，有个， ②当五个数字由、、、、组成时，首位数字为或时，末位有种选择，共有个， 首位数字为或时，末位有种选择，共有个，此时共有个， 则被整除的五位数有个． 22．让6名学生排成一排，按下列条件，求分别有多少种不同的排法． (1)甲在乙的左边； (2)甲在乙的左边，乙在丙的左边． 【答案】(1)360 (2)120 【分析】（1）［方法一］结合排列数，利用倍缩法求解即可； ［方法二］结合排列数，利用空位法求解即可. （2）［方法一］结合排列数，利用倍缩法求解即可； ［方法二］结合排列数，利用空位法求解即可. 【详解】（1）［方法一］倍缩法：不考虑甲、乙顺序，有种排法，甲、乙全排有（种）排法， 所以甲在乙的左边的排法共有（种）． ［方法二］空位法：从6个位置中选择4个位置把除甲、乙外的其余4人放入，共有种排法， 再将甲、乙按序排入余下的2个位置，因此共有（种）排法． （2）［方法一］倍缩法：不考虑甲、乙、丙顺序，有种排法，甲、乙、丙全排有（种）排法， 所以甲在乙的左边，乙在丙的左边共有（种）排法． ［方法二］空位法：从6个位置中选择3个位置把除甲、乙、丙外的其余3人放入，共有种排法， 再将甲、乙、丙按序排入余下的3个位置，因此共有（种）排法． 23．用0，1，2，5，6，7这六个数字组成没有重复数字的四位数． (1)四位数共有多少个？ (2)偶数共有多少个？ (3)比2026大的数有多少个？ 【答案】(1)300 (2)156 (3)237 【分析】（1）方法1：先排首位（不能为0），再排后面三位，利用分布乘法计数原理求解. 方法2：分组成的四位数有无数字0讨论，利用分类加法计数原理求解. （2）分个位数字是否为0进行讨论，利用分类加法计数原理求解. （3）分别求个位、十位、百位、千位比2024大的数可得答案. 【详解】（1）方法一  先从1，2，5，6，7中选1个数字放在千位，有种方法， 再从剩余的五个数字中选3个，放在个位、十位和百位，有种方法， 故可以组成没有重复数字的四位数的个数为． 方法二  当四位数中不含数字0时，有种方法；当四位数中含数字0时，有种方法． 故可以组成没有重复数字的四位数的个数为． （2）根据四位数的个位数字是否是0进行讨论，当四位数的个位数字是0时， 没有重复数字的四位数有（个）． 当四位数的个位数字是2或6时，千位有4个数字可选，百位、十位有种选法， 满足条件的四位数有（个）． 所以共有个偶数． （3）当2在千位，0在百位，5在十位时，个位可以是1，6，7，共3个， 当2在千位，0在百位，6在十位时，个位可以是1，5，7，共3个， 当2在千位，0在百位，7在十位时，个位可以是1，5，6，共3个， 当2在千位，1在百位时，十位、个位共有种选法， 当2在千位，5在百位时，十位、个位共有种选法， 当2在千位，6在百位时，十位、个位共有种选法， 当2在千位，7在百位时，十位、个位共有种选法， 当5在千位时，百位、十位、个位共有种选法， 当6在千位时，百位、十位、个位共有种选法， 当7在千位时，百位、十位、个位共有种选法． 综上所述，比2026大的数共有（个）． 24．7人站成一排． (1)一共有多少种不同的排法？ (2)甲站在正中间的不同排法有多少种？ (3)甲、乙两人必须站在两端的不同排法有多少种？ (4)甲、乙两人不能站在两端的不同排法有多少种？ (5)甲不站在排头，也不站在排尾的不同排法有多少种？ (6)甲不站在排头，乙不站在排尾的不同排法有多少种？ (7)甲、乙、丙三人必须排在一起的不同排法有多少种？ (8)甲、乙、丙三人不相邻的不同排法有多少种？ (9)甲、乙、丙三人从左到右顺序是一定的不同排法有多少种？ 【答案】(1)5040 (2)720 (3)240 (4)2400 (5)3600 (6)3720 (7)720 (8)1440 (9)840 【分析】(1)由排列数公式求解即可; (2)先安排甲站在正中间，其他位置进行全排列即可; (3)先安排甲乙站在两端，其他位置进行全排列即可; (4)先安排甲乙在中间五个位置，其他位置进行全排列即可; (5)先安排甲站在中间五个位置，其他位置进行全排列即可; (6)利用间接法求解即可; (7)利用捆绑法求解即可; (8)利用插空法求解即可; (9)利用定序法求解即可. 【详解】（1）由于不受任何条件限制，所以共有种不同的排法． （2）因为除甲外的6人可站在除正中间之外的6个不同的位置上，所以共有种不同的排法． （3）首先，甲、乙站在两端的排法有种；其次，其余5人在中间5个不同位置的排法有种，根据分步乘法计数原理，甲、乙两人必须站在两端的不同排法有种． （4）方法1：甲、乙可以排在除两端的其余5个不同的位置，有种排法，其余5人有种排法，根据分步乘法计数原理，共有种不同的排法． 方法2：甲在排头或排尾的排法有种排法，乙在排头或排尾的排法有种排法，甲、乙同时排在两端的有种排法，故共有种不同的排法． （5）方法1：甲从中间5个位置任选1个，有种排法，其余6人有种排法，故共有种不同的排法． 方法2：由于甲不能排在两端，只能从其余6人中任选2人排在两端，有种排法，中间5个位置共有种排法，故共有种不同的排法． 方法3：甲站在排头或排尾的排法有种排法，故共有种不同的排法． （6）方法1：第1类，乙站在排头，共有种不同的排法；第2类，乙不站在排头，由于甲也不能站在排头，所以，排头有种排法，由于有一个人站在排头，乙又不能站在排尾，因此排尾有种排法，中间5个位置有种排法，故共有种不同的排法． 方法2：因为甲站在排头时有种排法，乙站在排尾时有种排法，甲在排头且乙在排尾时有种排法，故共有种不同的排法． （7）第1步，把甲、乙、丙作为一个整体“捆绑”成一个元素与另4人排成一排有种排法，第2步，甲、乙、丙全排列有种排法，根据分步乘法计数原理，共有种不同的排法． （8）第1步，除甲、乙、丙三人外的4人有种排法，第2步，其余4人之间及两端有5个空位，将甲、乙、丙三人排入这5个空位，有种排法，故共有种不同的排法． （9）方法1：七个位置中，先将甲、乙、丙三人外的4人排列，有种排法，然后将甲、乙、丙按规定顺序安排到剩下的3个位置上，故共有种不同的排法． 方法2：先不考虑甲、乙、丙的顺序，有种排法，因为在上述排列中，每6种有且仅有一种恰好是符合甲、乙、丙按一定顺序排列的，故共有种不同的排法． 25．用0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？（列式并计算） (1)六位数； (2)六位奇数； (3)能被5整除的六位数； (4)组成的六位数按从小到大顺序排列，第265个数是多少？ (5)六位数中数字1，2始终相邻的数 【答案】(1)600 (2)288 (3)216 (4)310245 (5)192 【分析】（1）先排个位，再排其它位的数字，再利用分步乘法计数原理可求得结果， （2）先在个位排1个奇数，然后排除0之外的数字，再利用分步乘法计数原理可求得结果， （3）讨论个位数是0或5，然后进行计算即可． （4）讨论首位是1，首位是2和首位是3时的不同个数再结合第265 个数求解即可． （5）先将1,2捆绑，再排首位和其它位即可求解. 【详解】（1）先排首数，有种，最后排其它有种， 根据分步计数原理得，六位数有种； （2）先排个位数，有种， 因为0不能在首位，再排首位有4种，最后排其它有种， 根据分步计数原理得，六位奇数有个； （3）能被5整除的六位数，则个位数是0或5， 个位数是0，则有种， 个位数是5，先排首位，0不作为首位，则有种排法，其余位置有种排法，故共有个． （4）首位数字不能为0，首位数字为1有种， 首位数字为2，有种， 首位数字为3，万位数字上为0，有种，此时所有6位数有个， 故第264个数是，第265个数是. （5）先将1,2捆绑看做一个元素，有种方法，再排首位，除0外均可，有种，再排其它位有种， 故共有个数. 题型五：多面手问题 26．某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从11人中选4人排版，4人印刷，有 种不同的选法.（用数字作答） 【答案】185 【分析】根据分类加法计数原理，这个问题可按只会印刷的四人作为分类标准：第一类：只会印刷的4人全被选出；第二类：从只会印刷的4人中选出3人；第三类：从只会印刷的4人中选出2人，即可得解. 【详解】将只会印刷的4人作为分类标准，将问题分为三类： 第一类：只会印刷的4人全被选出，有种； 第二类：从只会印刷的4人中选出3人，有种； 第三类：从只会印刷的4人中选出2人，有种. 所以共有（种）. 故答案为：. 27．（1）由0，1，2，3，4，5，6这7个数字组成的没有重复数字的四位偶数有多少个？ （2）把5个不同颜色的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放入1个小球，有多少种不同的放法？ （3）某书法兴趣小组有7名组员，其中3人只擅长硬笔书法，2人只擅长软笔书法，其余2人既擅长硬笔书法，又擅长软笔书法，现从书法兴趣小组中选择擅长硬笔书法的2人参加硬笔书法比赛，擅长软笔书法的2人参加软笔书法比赛（每个人不能同时参加两个比赛），则不同的选择方法有多少种？ 【答案】（1）420；（2）150；（3）37. 【分析】（1）按个位数字是否为0分类，结合排列计数问题列式求解. （2）把5个不同颜色的小球按分成3组，再利用全排列列式求解. （3）根据给定的信息，按擅长两种书法的选与不选分类，结合组合计数问题求解. 【详解】（1）求没有重复数字的四位偶数的个数有两类： 个位数字为0，共有个；个位数字不是0，共有个， 所以没有重复数字的四位偶数的个数是. （2）把5个不同颜色的小球按分成3组的分法数为；按分成3组的分法数为， 将每种分法所得3组放入3个不同盒子，有种放法， 所以不同的放法种数为. （3）求不同选法种数，有三类办法： 擅长两种书法的不选，有种；擅长两种书法的选1人，有种； 擅长两种书法的选2人，有种， 所以不同选法种数是. 28．某兴趣小组有10名学生，若从10名学生中选取3人，则选取的3人中恰有1名女生的概率为，且女生人数超过1人，则 (1)该小组中男生、女生各多少人？ (2)若10名学生排成一排，其中男生不相邻，且男生的左右相对顺序固定，问有多少种站队方法？（要求用数字作答） (3)若10名学生均为学校管弦乐队成员，其中有3名男生只会萨克斯，有4名女生只会小提琴，其他同学既会萨克斯又会小提琴，现从这10名学生中任选6人，其中3人吹萨克斯，3人拉小提琴，则有多少种不同的选法？（要求用数字作答） 【答案】(1)男生4人，女生6人； (2)25200； (3)309． 【分析】（1）设男生有x人，则女生有人，，，根据概率公式列式，解得答案； （2）利用插空法解决不相邻问题计算得出结果； （3）根据先分类再分步计算得出结果； 【详解】（1）设男生有x人，则女生有人，，， 则，解得，（舍去），故男生4人，女生6人； （2）因为要求男生不相邻，故用插空法，先将女生排好，再排男生， 故有种站队方法； （3）根据题意可知，有3名男生只会萨克斯，有4名女生只会小提琴， 故还有3名同学既会萨克斯又会小提琴，设， ，，故根据A进行分类： 第一类，A中选3人吹萨克斯，中选3人拉小提琴，则种； 第二类，A中选2人，C中选1人吹萨克斯，剩余6人中选3人拉小提琴，则种； 第三类，A中选1人，C中选2人吹萨克斯，剩余5人中选3人拉小提琴，则种； 第四类，A中选 0人，C中选3人吹萨克斯，剩余4人中选3人拉小提琴，则种； 故一共有种不同的选法． 29．（1）由0，1，2，3，4，5这6个数字组成没有重复数字的四位偶数有多少个？ （2）某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只会日语，2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？ 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用分类加法原理与排列数的定义计算即可； （2）利用分类加法原理与组合数的定义计算即可. 【详解】（1）若个位是0，则有种， 若个位不是0，先从2、4中选一个，再从刚选的数字和0之外的4个中选1个放在首位， 中间两位从剩余4个中选2个排上即可，共有种， 故0、1、2、3、4、5这6个数字组成没有重复数字的四位偶数共个； （2）分类计数：若1个会双语的导游都不选，则有种， 若恰选1个会双语的导游，则有种， 若恰选2个会双语的导游，则有种， 故不同的选择方法有种. 题型六：分组分配问题 30．现有5本不同的书《天工开物》、《梦溪笔谈》、《齐民要术》、《本草纲目》、《九章算术》，则下列说法正确的是（ ） A．将全部的书放到6个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书，有种不同的放法 B．将全部的书放在同一层书架上，要求《本草纲目》和《九章算术》相邻，有96种不同的放法 C．将五本书排成一排，则《天工开物》、《梦溪笔谈》按从左到右（可以不相邻）的顺序排列的不同的排法有120种 D．将书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人2本，有90种不同的分法 【答案】D 【分析】根据分步计数乘法原理即可求解判断A；把《本草纲目》和《九章算术》看成一本书进行排列即可计算求解判断B；先全排再根据定序问题计算求解即可判断C；根据先分组后排序计算即可求解判断D. 【详解】对于A，将全部的书放到6个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书，每本书均有6种不同的放法， 根据分步计数乘法原理，共有种放法，所以A不正确； 对于B，将全部的书放在同一层书架上，要求《本草纲目》和《九章算术》相邻， 可把《本草纲目》和《九章算术》看成一本书，共有种放法，所以B不正确； 对于C，将五本书并排成一排，， 则《天工开物》、《梦溪笔谈》按从左到右（可以不相邻）的顺序排列的排法有种， 所以C不正确； 对于D，将5本不同的书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人2本， 有种分组方法， 再将其分给三人，共有种分法，所以D正确. 故选：D 31．分会场模式是央视春晚的长期传统，旨在扩大节目覆盖面，增加观众互动性，同时展示各城市独特的历史人文亮点，今年央视春晚的四个分会场分别是武汉､重庆､无锡和拉萨，中央电视台选派6名记者去四个分会场进行现场报道，每个分会场至少分配一名记者，则所有不同的分配方案有 种. 【答案】1560 【分析】先将6名记者分成4组，再分配到四个会场，利用分步分类计数原理即可得解. 【详解】先将6名记者分成4组，有和两种分法， 共种， 再将4组分配到四个会场，共种， 则有种. 故答案为：1560 32．解决下列问题，结果用数字表示. (1)有6个不同的小球，全部放入3个相同的盒子里，每个盒子至少放1个，求不同的存放方式； (2)有6个相同的小球，全部放入3个不同的盒子里，允许有空盒情况，求不同的存放方式； (3)有6个相同的小球，全部放入3个相同的盒子里，允许有空盒情况，求不同的存放方式. 【答案】(1)90 (2)28 (3)7 【分析】（1）将6个球分为三组，然后分三种情况计算，即可得到结果； （2）利用隔板法即可得到结果； （3）分6个小球入一个盒子，两个盒子以及三个盒子讨论，即可得到结果； 【详解】（1）6个球分为三组有以及以及三种情况， 种； （2）利用隔板法可得， 所以一共有：28种存放方式. （3）①6个小球入一个盒子有1种情况； ②6个小球入两个盒子有，共3种情况； ③6个小球入三个盒子有，共3种情况； 所以一共有：7种存放方式. 33．某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养.现准备将一批书籍全部分配给甲､乙､丙､丁4个不同的班级. (1)若这批书是10本相同的书，每个班至少1本，共有多少种不同的分配方法？ (2)若这批书是10本不同的书，每个班至少2本，共有多少种不同的分配方法？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）相同元素分配问题用“隔板法”，从个元素中间的个空中插入块板隔成份即可，利用组合数公式计算可得； （2）分为，两种情况，先分组，再分配，部分平均分组需除以组数（平均的组）的全排列. 【详解】（1）相同元素分配问题用“隔板法”， 只需从个元素中间的个空中插入块板隔成份即可， 所以共有种不同的分配方法； （2）将本不同的数分成份，每个班至少本，可分为，两种情况； 若为，则有种不同的分配方法； 若为，则有种不同的分配方法； 综上可得一共有种不同的分配方法. 34．中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程. (1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”课程不排第一周，“剪纸”课程不排最后一周的所有排法种数； (2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有且只有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； (3)计划安排五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师不任教“围棋”课程，教师只能任教一门课程，求所有课程安排的种数. 【答案】(1)504 (2)360 (3)1140种 【分析】（1）利用间接法计算可得； （2）首先确定甲和乙的不同课程、相同的课程，最后再确定丙的课程，按照分步乘法计数原理计算可得； （3）分只任教1科和任教2科两种情况讨论，按照分类加法计数原理计算可得. 【详解】（1）依题得，共有种； （2）第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况； 第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况； 第三步，因为丙和甲，乙的课程都不同，所以丙的排法种情况； 因此，所有选课种数为. （3）①当只任教1科时：先排任教科目，有种； 再从剩下5科中排的任教科目，有种； 接下来剩余4科中必有2科为同一名老师任教，分三组全排列，共有种； 所以当只任教1科时，共有种； ②当任教2科时：先选任教的2科有种， 这样6科分为4组共有种， 所以当任教2科时，共有种， 综上课程安排方案有1140种. 35．现有6名孩子和3个不同的房间，并让孩子都进入房间． (1)若每个房间进2个小孩，共有多少种不同的方法？ (2)恰有一个房间没有孩子，共有多少种安排方法？ 【答案】(1) (2)186 【分析】（1）先进行平均分组，然后全排即可. （2）分为1、5、0；2、4、0；3、3、0讨论即可. 【详解】（1）由题意知，有种方法． （2）由题意知，三个房间进入小孩数有如下分配： ①1、5、0分配，这种情况下有种安排方法； ②2、4、0分配，这种情况下有种安排方法； ③3、3、0分配，这种情况下有种安排方法． 故一共有种安排方法． 36．甲、乙、丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务. (1)6名同学站成一排，若甲、乙、丙必须相邻，则不同的排列方案有多少种? (2)6名同学站成一排，甲、乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种? (3)6名同学平均分成三组，进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种? 【答案】(1)144 (2)144 (3)90 【分析】（1）采用捆绑法求解； （2）先从除甲、乙以外的4人中选2人，再利用捆绑法计算可得； （3）利用平均分组分配的方法求解. 【详解】（1）将甲、乙、丙组成一个整体，再与其余3人全排列， 共有种排列方案； （2）从除甲、乙以外的4人中任取2人排在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下2个人全排列， 则有种排列方案； （3）名学生平均分配到三项不同的社区有种方法. 37．为参加武汉市高中生足球友谊赛，某校决定从高一年级的学生中挑选11名球员组建校足球队. (1)若将校足球队的11个名额分到7个班级，每个班级至少1个名额，问有多少种分配方法？ (2)学校教练计划比赛前将除指定的守门员外的其他10名队员，进行分组训练.若其中一组4人，另外两组每组3人，问有多少种不同的分组方式？ (3)比赛入场式时工作人员会为11名队员拍集体照，若要求拍照时、、三人必须相邻，、、、四人均不相邻，问有多少种不同的排法？ 【答案】(1)210 (2)2100 (3)259200 【分析】（1）将11个名额看成11个相同的小球，排成一排后，有10个空位，利用隔板法分析可得答案； （2）根据题意，由平均分组和不平均分组公式分析可得答案； （3）根据题意相邻元素捆绑，不相邻元素插空法，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】（1）将校足球队的个名额分到7个班级，每个班级至少个名额， 问题等价于将个完全相同的小球分7组，每组至少一个小球， 由隔板法可知，不同的分配方法种数为． （2）将除指定的守门员外的其他名队员，进行分组训练，若其中一组人，另外两组每组人， 则不同的方法种数为种. （3）将、、三人进行捆绑，与除、、、四人以外的人进行全排， 然后将、、、四人进行插空， 所以，不同的排法种数为种． 题型七：相同元素问题 38．20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（    ） A．120 B．240 C．300 D．360 【答案】A 【分析】将问题化为17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中，再应用组合数求不同的放法数. 【详解】先往2号，3号盒内分别放入1个球和2个球，此时每个盒子至少还需放入1个球， 将剩下的17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中即可， 共有（种）方法． 故选：A 39．2025年央视春晚的四个分会场分别为重庆、武汉、无锡和拉萨，现有11个志愿者名额分配给这四个分会场，其中一个分会场分5个名额，在余下的三个分会场中每个会场至少分一个名额，则名额分配的不同种数为（    ） A．210 B．35 C．40 D．120 【答案】C 【分析】根据给定条件，选择一个分会场获5个名额，再将余下6个名额利用隔板法分到另外3个分会场即可. 【详解】依题意，选择一个分会场获取5个名额，有种方法， 再将余下的6个名额分配到另三个分会场，用隔板法有种， 所以名额分配的不同种数为. 故选：C 40．关于x，y，z的方程（其中x，y，）的解共有 组． 【答案】21 【分析】本题可以转化为8个相同的球放入3个不同的盒子，每个盒子不空，利用隔板法结合组合数运算求解. 【详解】本题可以转化为8个相同的球放入3个不同的盒子，每个盒子不空， 则8个球有7个空，7个空中插入2个隔板，共有种不同选择， 所以原方程共有21组解. 故答案为：21. 41．将6个不同的小球放入编号分别为的三个不同盒子.（过程要用文字简要说明，结果用数字作答） (1)求共有多少种不同放法； (2)当每个盒子的球数不小于它的编号数时，求共有多少种不同放法； (3)当每个盒子至少有一个小球时，求共有多少种不同放法； (4)若将题干中“6个不同的小球”改为“9个相同的小球”，其他条件不变，则当每个盒子的球数不小于它的编号数时，共有多少种不同放法？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据分步乘法原理直接求解即可. （2）结合组合数的运算，根据分步乘法原理直接求解即可. （3）根据分组分配问题，结合组合数和排列数求解即可. （4）方法一：在2号盒子里放入1个小球，在3号盒子里放入2个小球，然后利用隔板法求解即可.方法二：在号盒子里先分别放入个球，然后利用隔板法求解即可. 【详解】（1）根据分步乘法计数原理得共有种不同放法. （2）当每个盒子的球数不小于它的编号数时，1号盒1个球，2号盒2个球，3号盒3个球，共有种不同放法. （3）当每个盒子至少有1个小球时，共有三类： 第一类，一盒4个球，其余两盒各1个球，有种； 第二类，一盒1个球，一盒2个球，一盒3个球，有种； 第三类，每盒2个球，有种. 综上得，共有种不同放法. （4）方法一：在2号盒子里放入1个小球，在3号盒子里放入2个小球， 然后在剩余的6个相同的小球中间5个空插入2个挡板，共有种不同放法. 方法二：在号盒子里首先分别放入个球， 然后剩下的3个小球和两个挡板一起排队，5个位置中给挡板选两个位置，共有种不同放法. 题型八：涂色问题 42．如图所示，现要给固定位置的四棱锥的五个面涂上颜色，要求相邻的面涂不同的颜色，可供选择的颜色共有5种，则不同的涂色方案共有（    ）    A．360 B．420 C．480 D．660 【答案】B 【分析】根据使用颜色种数分类，利用排列组合可得. 【详解】若5种颜色全涂，有种； 若5种颜色涂4种，则左右侧面或前后侧面涂同种颜色，有种； 若5种颜色涂3种，则左右侧面涂同种颜色，前后侧面涂同种颜色，有种 可得，故不同的涂色方案共有420种. 故选：B 43．如图（1），由两个半径相等的圆柱体呈直角相交而得到的公共部分对应的几何体称为“牟合方盖”（如图（2）），牟合方盖的表面可以看成四个曲面拼接成的.将一个牟合方盖的四个曲面编号为，然后每个曲面染一种颜色，相邻（有公共图边）的两面颜色不能相同，如果只有种颜色可供使用，则不同的染色方法种数（    ）    A．若，不同的染色方法种数为 B．若，不同的染色方法种数为 C．若，不同的染色方法种数为 D．若，不同的染色方法种数为 【答案】D 【分析】利用分步计数乘法原理与分类加法计数原理可求解. 【详解】根据牟合方盖的表面可以看成四个曲面拼接成的.将一个牟合方盖的四个曲面编号为，故可转化为有公共点的4个区域，如图所示： 1 2 3 4 时，若用两种颜色，则号和4号区域同色，且号和号区域同色，有种不同的涂法， 若用三种颜色，则要么号和4号区域同色，要么号和号区域同色，有种不同的涂法， 共有种不同的涂法，所以A错误，B错误. 时，1号区域可以从4种颜色的染料中任取一种涂色，有4种不同的涂法. ①当2号，3号区域涂不同颜色的染料时，有种不同的涂法，4号区域有2种不同的涂法，可知有种不同的涂法. ②当2号，3号区域涂相同颜色的染料时，有3种不同的涂法，4号区域也有3种不同的涂法，可知有种不同的涂法. 综上，由分类加法计数原理，可得共有种不同的涂法. 因此，C错误，D正确. 故选： 44．用五种不同的颜色给图中的六个区域涂色，要求有公共边的区域不能涂同一种颜色且五种颜色要用完，则共有涂色方法 种.    【答案】960 【分析】先分析出同色区域的情况，然后剩余颜色任意排列即可. 【详解】共6个区域，5种颜色需用完，则必有2个区域颜色相同， 而每次涂色颜色可以相同的区域有，，共8种， 故满足题意的涂法共有种. 故答案为： 45．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形，如图所示，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂的颜色都不相同，且“3，5，7”号小正方形涂相同的颜色，则符合要求的涂法共有 种． 【答案】108 【分析】由涂色问题进行分情况计算即可. 【详解】分类： 若小正方形1，9与5同色，则有种； 若小正方形1与5同色，9与5异色，则有种； 若小正方形9与5同色，1与5异色，则有种； 若小正方形1，9均与5异色或1与9同色，9与5异色，则有种. 可得，故符合条件的涂法共有108种. 故答案为：108. 46．在如图的7块区域中，用5种颜色填充，且相邻区域不同色，不同的染色方法有 种. 【答案】3660 【分析】先分区域同色和区域异色两种情况，再根据的颜色结合分步计数原理列式计算求解； 【详解】解法1：  若区域同色，则有种填色方法，此时有4种，有3种，有2种.由对称性可知，有3种，有2种，共有种. 若区域异色，则有种填色方法，有3种． 此时的颜色可再分两类，即同色时，有3种；异色时，有2种，有2种．与对称，共有种． 综上可得，，故不同的染色方法有3660种． 解法2 ：根据题意可得，故不同的染色方法有3660种． 故答案为：. 题型九：几何问题 47．已知是由组成的一个三位数，表示为，其中，均表示从1到9中的任意数，若以为三条边长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数共有（    ）. A．185个 B．170个 C．165个 D．156个 【答案】C 【分析】根据题意分等边三角形及等腰不等边两种情况进行分析列举即可. 【详解】①等边三角形有9个； ②等腰但不等边的三角形的情况如表1所示： 表1 底的长度 腰的情况／种 1 8 2 7 3 7 4 6 5 6 6 5 7 5 8 4 9 4 有52个，再排列，有个. 故共有这样的三位数（个）． 故选：C. 48．直线（不全为 0）与圆有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有（  ） A．60 条 B．66 条 C．72 条 D．78 条 【答案】D 【分析】由题确定圆上的整点，然后由两点确定一条直线及过圆整点的切线条数可得答案. 【详解】因，，则公共点为： ，共12个. 若这样的直线为圆的切线，则满足题意的切线有12条； 若这样的直线不为圆的切线，则由两点确定一条直线，满足的直线有条. 则这样的直线有78 条. 故选：D 49．平面上有一个点，等可能地向前、后、左、右四个方向移动，每次移动一个单位长度，则经过4次移动后回到出发点的概率为 ． 【答案】 【分析】根据题意确定点水平方向和竖直方向移动的次数，再分类求解概率. 【详解】每次移动有4种方向，4次移动，总路径数为：， 设前、后单位数分别为，左、右单位数分别为， 因运动4次后仍回到出发点，所以前后步数相等且左右步数相等， 记，则，即. 若即则路径数有6种； 若即则路径数有24种； 若即则路径数有6种； 所以运动4次后仍回到出发点的概率为. 故答案为： 50．商场某区域的行走路线图可以抽象为一个正方体道路网（如图，图中的线段均为可行走的通道），甲、乙两人同时从A点以相同的速度出发，随机地选择一条最短路径，同时经过并最终到达，共有 种不同的行走方法．（用数字作答） 【答案】 【分析】根据乘法计数原理计算即可. 【详解】由图可知：从从A点到点最短路径有6种情况，从点到点最短路径有6种情况， 所以甲、乙两人同时从A点到点最短路径有种. 故答案为： 51．圆上有20个点，两两连线在圆内至多有几个交点？ 【答案】4845个 【分析】由组合数即可求解. 【详解】圆上任意4点其对角线交点必在圆内，又，故至多有4845个交点． 题型十：概率问题 52．某城市举办国际马拉松比赛，在某路段设三个服务点，某高校包括甲与乙在内的5名同学到三个服务点做志愿者，每名同学只去一个服务点，每个服务点至少1人，则甲与乙不去同一个服务点的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先运用“先分组后分配”的策略求出5名同学去3个服务点的安排方法数，再运用“正难则反”策略与“捆绑法”求出甲与乙去同一个服务点的安排方法数，再利用古典概型以及对立事件的概率公式即可得解. 【详解】5名同学分成3个小组， 若按2人，2人，1人来分有种分组方式， 若按3人，1人，1人来分有种分组方式， 再把这三个小组排列到三个服务点去共有种分配方法， 所以每个服务点至少有1人的不同安排方法有：种. 若甲乙去同一个服务点且该服务点有两人，则有种分组方式； 若甲乙去同一个服务点且该服务点有三人，则有种分组方式； 再把这三个小组排列到三个服务点去共有种分配方法， 所以甲乙去同一个服务点的不同安排方法有：种. 因此，甲乙去同一个服务点的概率为， 则甲与乙不去同一个服务点的概率为. 故选：B. 53．科技公司为破解某密码锁的密码，采用技术手段测得其密码键盘1、2、4、6这4个数字键磨损较大，于是判断密码由这4个数字组成，且每个数字至少出现1次.通过密码锁生产厂家了解得知，该密码是6位数，且连续输入错误5次就会被永久锁定.若以上判断和信息均正确且再无其他线索，科技公司随机尝试5次密码，能成功破解该密码的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算 6 位密码的总数（由 1、2、4、6 组成，每个数字至少出现 1 次），进而求得成功破解该密码的概率. 【详解】根据题意，6位数由4个数字组成，那么总可能数为种， 排除“缺少1个数字”的情况：选1个数字不出现，剩余3个数字组成6位数，共 种； 补回“缺少2个数字”的情况（容斥原理）：选2个数字不出现，剩余2个数字组成6位数，共 种； 排除“缺少3个数字”的情况：选3个数字不出现，剩余1个数字组成6位数，共 种； 根据容斥原理，符合条件的密码数为. 所以能成功破解该密码的概率为. 故选：B. 54．在正方体的8个顶点中任取三个构成三角形，则构成的三角形是等腰三角形的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用古典概型概率计算公式计算出所求概率. 【详解】从正方体的8个顶点中任取3个构成三角形，基本事件有种， 其中构成的三角形是等腰三角形的分两类：以正方体的棱长为腰和以正方体的面对角线为腰. 1、以为顶点，正方体的棱长为腰的等腰三角形有共3种， 正方体有8个顶点，则共有种； 2、.以为顶点，正方体的面对角线为腰的等腰三角形有共3种， 正方体有8个顶点，有种，其中每个三角形计算了3次，则共有种； 综上，其中构成的三角形是等腰三角形的有种， 所以构成的三角形是等腰三角形的概率是.    故选：C. 55．甲，乙，丙三人玩踢毽子游戏，每个人接到毽子都等可能地把毽子传给另外两个人中的一个人，从甲开始踢，则经过3次传递后，毽子传回到甲的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据古典概型进行求解即可. 【详解】将甲、乙、丙三人用表示，由题意可知，传毽子的方式有以下形式： ， 则经过3次传递后，毽子传回到甲的事件有与， 因此经过3次传递后，毽子传回到甲的概率为， 故选：A. 56．某次试验掷一个骰子5次，记录下5个点数，若已知这组数据有且仅有一个6，中位数为3，方差为2.8，则从这组数据中随机抽取1个数，该数小于众数的概率为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求出5个点数为，再由古典概率的计算公式求解即可. 【详解】不妨设， 因为这组数据有且仅有一个6，中位数为3，方差为2.8， 所以，设平均数为，方差为， ， 所以， 因为，由题意分析可知，众数只能为， 若众数为，则5个点数可能为：；；；；； 计算；；；四组数的平均数和方差，方差均不为2.8. 当这五个数为：，可得， ，所以成立. 若众数为，则5个点数可能为：；. 计算这两组数的平均数和方差，方差均不为2.8. 若众数为，则5个点数可能为：；. 计算这两组数的平均数和方差，方差均不为2.8. 综上：这5个点数只能为，则的众数为，小于的数有，共2个， 则从这组数据中随机抽取1个数，该数小于众数的概率为：. 故选：C 57．在中国古代数学中，《九章算术》涉及到约分的问题，需要对互质概念的理解.对于两个正整数而言，若它们仅有公因数1，则称这两个正整数互质.例如1和2，3和4分别都只有公因数1，所以1和2，3和4分别都是互质的.从2160的不同的正因数中选取两个不同的正因数，这两个数互质的概率为 . 【答案】 【分析】先将2160因数分解，利用乘法原理可得2160正因数的个数；再分情况讨论选取的两个正因数互质的情况，利用古典概型求两因数互质的概率. 【详解】因为，则的正因数，其中，，， 所以有个不同的正因数. 从中选取两个不同的正因数，这两个数互质的情况有如下几种： ①选择的两个因数为、，其中，，有种情况； ②选择的两个因数为、，其中，，有种情况； ③选择两个因数为、，其中，，有种情况； ④选择的两个因数为、，其中，，，有种情况； ⑤选择的两个因数为、，其中，，，有种情况； ⑥选择的两个因数为、，其中，，，有种情况； ⑦若选择的因数有，与其它因数的公约数为，有种情况. 综上所述，从中选取两个不同的正因数，这两个数互质的概率为. 故答案为： 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 排列组合十大题型 题型一：排列数与组合数的计算 题型二：相邻问题与不相邻问题 题型三：定序问题与环形问题 题型四：特殊元素与特殊位置问题（排队、排数） 题型五：多面手问题 题型六：分组分配问题 题型七：相同元素问题 题型八：涂色问题 题型九：几何问题 题型十：概率问题 题型一：排列数与组合数的计算 1．若为正整数，且，则（   ） A． B． C． D． 2．若排列数，则 . 3．关于正整数的方程是，则 ． 4．若 为正整数，则不等式 的解集是 5．（1）解方程：； （2）求关于的不等式的解集. 6．（1）求满足方程的整数的值. （2）求满足不等式的整数的值. 题型二：相邻问题与不相邻问题 7．若将5名男生和3名女生排成一排，则3名女生相邻的不同排法种数为（    ） A．4680 B．4320 C．3640 D．3860 8．某人计划到山东旅游，打算用连续5天时间游玩泰山、崂山、蓬莱阁3个景点，其中泰山、崂山2个景点分别安排连续的两天游玩，则不同的日程安排种数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．马路上有依次编号为1，2，3，…，10的10盏路灯，为节约用电，某个时间段可以把其中的3盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，而且两端的灯也不能关掉，则满足条件的不同关灯方法有（   ） A．20种 B．120种 C．56种 D．60种 10．某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（   ） A．24种 B．36种 C．72种 D．144种 11．6名同学排成一排，已知甲与乙不相邻，则丙与丁必须相邻的概率是 ． 题型三：定序问题与环形问题 12．某学校图书室内，有10位同学围着一张圆桌坐成一圈，共有多少种不同的坐法（    ） A． B． C． D． 13．甲､乙等6人围成一圈，且甲､乙两人相邻，则不同的排法共有（    ） A．6种 B．12种 C．24种 D．48种 14．“圆排列”亦称“循环排列”“环排列”，最早出现在中国《易经》的四象八卦组合.当A，B，C三位同学围成一个圆时，其中一个排列“ABC”与该排列旋转一个或几个位置得到的排列“BCA”或“CAB”是同一个排列，现有六位同学围成一个圆做游戏，其排列总数为 .（用数字作答） 15．某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为 ． 16．6名同学相约去游乐场游玩，进场时按顺序验票，则甲、乙、丙按顺序进场的不同情况有 种;进场后他们选定了3个游玩项目，每人都只玩1个项目，且每个项目都有人玩，则A项目恰有2个人游玩的不同分配方法有 种.(请用数字作答) 题型四：特殊元素与特殊位置问题（排队、排数） 17．2025年11月9日至21日，第十五届全运会在广东、香港、澳门三地举办.在全运会的火炬传递中，某路段的传递活动由，，，，，共六名火炬手分五棒完成，若第一棒火炬手只能从，中产生，最后一棒由两名火炬手共同完成，且，两名火炬手不能共同完成最后一棒，则不同的传递方案种数为（   ） A．54 B．60 C．102 D．114 18．如图所示，某学校进行“大脚板”趣味运动，需要八名同学一起团结协作，统一步调才能前进．甲同学作为队长需要喊口令，故只能站在最中间的两个位置之一，方便前后的同学都清晰地听到口令．乙、丙两位同学经验较为丰富所以站在最前或最后面，则这八位同学一共有多少种站位方式（   ） A．240 B．480 C．720 D．960 19．某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？ 20． 甲乙丙丁戊五人排队，要求甲乙不相邻且甲不能站在首位，共有多少种站法？ 21．用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的五位数． (1)比20000大的五位偶数共有多少个； (2)从小到大排列所有的五位数，问35214是第几位？ (3)能被6整除的五位数有多少个． 22．让6名学生排成一排，按下列条件，求分别有多少种不同的排法． (1)甲在乙的左边； (2)甲在乙的左边，乙在丙的左边． 23．用0，1，2，5，6，7这六个数字组成没有重复数字的四位数． (1)四位数共有多少个？ (2)偶数共有多少个？ (3)比2026大的数有多少个？ 24．7人站成一排． (1)一共有多少种不同的排法？ (2)甲站在正中间的不同排法有多少种？ (3)甲、乙两人必须站在两端的不同排法有多少种？ (4)甲、乙两人不能站在两端的不同排法有多少种？ (5)甲不站在排头，也不站在排尾的不同排法有多少种？ (6)甲不站在排头，乙不站在排尾的不同排法有多少种？ (7)甲、乙、丙三人必须排在一起的不同排法有多少种？ (8)甲、乙、丙三人不相邻的不同排法有多少种？ (9)甲、乙、丙三人从左到右顺序是一定的不同排法有多少种？ 25．用0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？（列式并计算） (1)六位数； (2)六位奇数； (3)能被5整除的六位数； (4)组成的六位数按从小到大顺序排列，第265个数是多少？ (5)六位数中数字1，2始终相邻的数 题型五：多面手问题 26．某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从11人中选4人排版，4人印刷，有 种不同的选法.（用数字作答） 27．（1）由0，1，2，3，4，5，6这7个数字组成的没有重复数字的四位偶数有多少个？ （2）把5个不同颜色的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放入1个小球，有多少种不同的放法？ （3）某书法兴趣小组有7名组员，其中3人只擅长硬笔书法，2人只擅长软笔书法，其余2人既擅长硬笔书法，又擅长软笔书法，现从书法兴趣小组中选择擅长硬笔书法的2人参加硬笔书法比赛，擅长软笔书法的2人参加软笔书法比赛（每个人不能同时参加两个比赛），则不同的选择方法有多少种？ 28．某兴趣小组有10名学生，若从10名学生中选取3人，则选取的3人中恰有1名女生的概率为，且女生人数超过1人，则 (1)该小组中男生、女生各多少人？ (2)若10名学生排成一排，其中男生不相邻，且男生的左右相对顺序固定，问有多少种站队方法？（要求用数字作答） (3)若10名学生均为学校管弦乐队成员，其中有3名男生只会萨克斯，有4名女生只会小提琴，其他同学既会萨克斯又会小提琴，现从这10名学生中任选6人，其中3人吹萨克斯，3人拉小提琴，则有多少种不同的选法？（要求用数字作答） 29．（1）由0，1，2，3，4，5这6个数字组成没有重复数字的四位偶数有多少个？ （2）某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只会日语，2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？ 题型六：分组分配问题 30．现有5本不同的书《天工开物》、《梦溪笔谈》、《齐民要术》、《本草纲目》、《九章算术》，则下列说法正确的是（ ） A．将全部的书放到6个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书，有种不同的放法 B．将全部的书放在同一层书架上，要求《本草纲目》和《九章算术》相邻，有96种不同的放法 C．将五本书排成一排，则《天工开物》、《梦溪笔谈》按从左到右（可以不相邻）的顺序排列的不同的排法有120种 D．将书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人2本，有90种不同的分法 31．分会场模式是央视春晚的长期传统，旨在扩大节目覆盖面，增加观众互动性，同时展示各城市独特的历史人文亮点，今年央视春晚的四个分会场分别是武汉､重庆､无锡和拉萨，中央电视台选派6名记者去四个分会场进行现场报道，每个分会场至少分配一名记者，则所有不同的分配方案有 种. 32．解决下列问题，结果用数字表示. (1)有6个不同的小球，全部放入3个相同的盒子里，每个盒子至少放1个，求不同的存放方式； (2)有6个相同的小球，全部放入3个不同的盒子里，允许有空盒情况，求不同的存放方式； (3)有6个相同的小球，全部放入3个相同的盒子里，允许有空盒情况，求不同的存放方式. 33．某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养.现准备将一批书籍全部分配给甲､乙､丙､丁4个不同的班级. (1)若这批书是10本相同的书，每个班至少1本，共有多少种不同的分配方法？ (2)若这批书是10本不同的书，每个班至少2本，共有多少种不同的分配方法？ 34．中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程. (1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”课程不排第一周，“剪纸”课程不排最后一周的所有排法种数； (2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有且只有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； (3)计划安排五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师不任教“围棋”课程，教师只能任教一门课程，求所有课程安排的种数. 35．现有6名孩子和3个不同的房间，并让孩子都进入房间． (1)若每个房间进2个小孩，共有多少种不同的方法？ (2)恰有一个房间没有孩子，共有多少种安排方法？ 36．甲、乙、丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务. (1)6名同学站成一排，若甲、乙、丙必须相邻，则不同的排列方案有多少种? (2)6名同学站成一排，甲、乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种? (3)6名同学平均分成三组，进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种? 37．为参加武汉市高中生足球友谊赛，某校决定从高一年级的学生中挑选11名球员组建校足球队. (1)若将校足球队的11个名额分到7个班级，每个班级至少1个名额，问有多少种分配方法？ (2)学校教练计划比赛前将除指定的守门员外的其他10名队员，进行分组训练.若其中一组4人，另外两组每组3人，问有多少种不同的分组方式？ (3)比赛入场式时工作人员会为11名队员拍集体照，若要求拍照时、、三人必须相邻，、、、四人均不相邻，问有多少种不同的排法？ 题型七：相同元素问题 38．20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（    ） A．120 B．240 C．300 D．360 39．2025年央视春晚的四个分会场分别为重庆、武汉、无锡和拉萨，现有11个志愿者名额分配给这四个分会场，其中一个分会场分5个名额，在余下的三个分会场中每个会场至少分一个名额，则名额分配的不同种数为（    ） A．210 B．35 C．40 D．120 40．关于x，y，z的方程（其中x，y，）的解共有 组． 41．将6个不同的小球放入编号分别为的三个不同盒子.（过程要用文字简要说明，结果用数字作答） (1)求共有多少种不同放法； (2)当每个盒子的球数不小于它的编号数时，求共有多少种不同放法； (3)当每个盒子至少有一个小球时，求共有多少种不同放法； (4)若将题干中“6个不同的小球”改为“9个相同的小球”，其他条件不变，则当每个盒子的球数不小于它的编号数时，共有多少种不同放法？ 题型八：涂色问题 42．如图所示，现要给固定位置的四棱锥的五个面涂上颜色，要求相邻的面涂不同的颜色，可供选择的颜色共有5种，则不同的涂色方案共有（    ）    A．360 B．420 C．480 D．660 43．如图（1），由两个半径相等的圆柱体呈直角相交而得到的公共部分对应的几何体称为“牟合方盖”（如图（2）），牟合方盖的表面可以看成四个曲面拼接成的.将一个牟合方盖的四个曲面编号为，然后每个曲面染一种颜色，相邻（有公共图边）的两面颜色不能相同，如果只有种颜色可供使用，则不同的染色方法种数（    ）    A．若，不同的染色方法种数为 B．若，不同的染色方法种数为 C．若，不同的染色方法种数为 D．若，不同的染色方法种数为 44．用五种不同的颜色给图中的六个区域涂色，要求有公共边的区域不能涂同一种颜色且五种颜色要用完，则共有涂色方法 种.    45．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形，如图所示，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂的颜色都不相同，且“3，5，7”号小正方形涂相同的颜色，则符合要求的涂法共有 种． 46．在如图的7块区域中，用5种颜色填充，且相邻区域不同色，不同的染色方法有 种. 题型九：几何问题 47．已知是由组成的一个三位数，表示为，其中，均表示从1到9中的任意数，若以为三条边长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数共有（    ）. A．185个 B．170个 C．165个 D．156个 48．直线（不全为 0）与圆有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有（  ） A．60 条 B．66 条 C．72 条 D．78 条 49．平面上有一个点，等可能地向前、后、左、右四个方向移动，每次移动一个单位长度，则经过4次移动后回到出发点的概率为 ． 50．商场某区域的行走路线图可以抽象为一个正方体道路网（如图，图中的线段均为可行走的通道），甲、乙两人同时从A点以相同的速度出发，随机地选择一条最短路径，同时经过并最终到达，共有 种不同的行走方法．（用数字作答） 51．圆上有20个点，两两连线在圆内至多有几个交点？ 题型十：概率问题 52．某城市举办国际马拉松比赛，在某路段设三个服务点，某高校包括甲与乙在内的5名同学到三个服务点做志愿者，每名同学只去一个服务点，每个服务点至少1人，则甲与乙不去同一个服务点的概率为（   ） A． B． C． D． 53．科技公司为破解某密码锁的密码，采用技术手段测得其密码键盘1、2、4、6这4个数字键磨损较大，于是判断密码由这4个数字组成，且每个数字至少出现1次.通过密码锁生产厂家了解得知，该密码是6位数，且连续输入错误5次就会被永久锁定.若以上判断和信息均正确且再无其他线索，科技公司随机尝试5次密码，能成功破解该密码的概率为（    ） A． B． C． D． 54．在正方体的8个顶点中任取三个构成三角形，则构成的三角形是等腰三角形的概率是（   ） A． B． C． D． 55．甲，乙，丙三人玩踢毽子游戏，每个人接到毽子都等可能地把毽子传给另外两个人中的一个人，从甲开始踢，则经过3次传递后，毽子传回到甲的概率为（    ） A． B． C． D． 56．某次试验掷一个骰子5次，记录下5个点数，若已知这组数据有且仅有一个6，中位数为3，方差为2.8，则从这组数据中随机抽取1个数，该数小于众数的概率为（    ） A．0 B． C． D． 57．在中国古代数学中，《九章算术》涉及到约分的问题，需要对互质概念的理解.对于两个正整数而言，若它们仅有公因数1，则称这两个正整数互质.例如1和2，3和4分别都只有公因数1，所以1和2，3和4分别都是互质的.从2160的不同的正因数中选取两个不同的正因数，这两个数互质的概率为 . 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $